Công thức hàm số bậc nhất và bậc hai

Công thức hàm số bậc nhất và bậc hai là kiến thức nền tảng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững công thức và tính chất của hai loại hàm số này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng vững chắc để bạn tiếp cận những kiến thức toán học cao cấp hơn.

Công thức hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là một hàm số có dạng \( y = ax + b \) trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số và \( a \neq 0 \). Đây là loại hàm số đơn giản nhất trong các hàm số đa thức và đồ thị của nó là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Công thức tổng quát: \( y = ax + b \) (a ≠ 0)

Hàm số bậc nhất được biểu diễn bằng công thức \( y = ax + b \), trong đó:

– \( y \) là giá trị của hàm số ứng với giá trị \( x \)

– \( a \) là hệ số góc của đường thẳng, quyết định độ dốc của đường thẳng

– \( b \) là hệ số tự do, xác định điểm giao của đường thẳng với trục \( y \)

 Giải thích ý nghĩa của các hệ số \( a \) và \( b \)

– Hệ số \( a \): Hệ số \( a \) còn gọi là hệ số góc của đường thẳng. Nó cho biết độ dốc của đường thẳng. Nếu \( a > 0 \), đường thẳng đi lên (tăng) từ trái qua phải. Nếu \( a < 0 \), đường thẳng đi xuống (giảm) từ trái qua phải. Giá trị tuyệt đối của \( a \) càng lớn, đường thẳng càng dốc.

– Hệ số \( b \): Hệ số \( b \) là hệ số tự do, cho biết vị trí mà đường thẳng cắt trục \( y \). Khi \( x = 0 \), \( y = b \).

Tính chất của hàm số bậc nhất

Sự biến thiên của hàm số

Hàm số bậc nhất có hai khả năng biến thiên chính:

1. Tăng: Nếu \( a > 0 \), hàm số là hàm số đồng biến, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) cũng tăng.
2. Giảm: Nếu \( a < 0 \), hàm số là hàm số nghịch biến, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) giảm.

Đồ thị hàm số bậc nhất (đường thẳng)

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Để vẽ đồ thị của hàm số \( y = ax + b \), ta cần hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó:

1. Tìm giao điểm với trục \( y \): Khi \( x = 0 \), ta có \( y = b \). Điểm giao là \( (0, b) \).
2. Tìm giao điểm với trục \( x \): Khi \( y = 0 \), ta có \( 0 = ax + b \) hay \( x = -\frac{b}{a} \). Điểm giao là \( \left(-\frac{b}{a}, 0\right) \).

Bài tập ví dụ về hàm số bậc nhất

Bài 1:Vẽ đồ thị hàm số

Vẽ đồ thị hàm số \( y = 2x + 3 \):

1. Tìm giao điểm với trục \( y \): Khi \( x = 0 \), \( y = 3 \). Điểm giao là \( (0, 3) \).
2. Tìm giao điểm với trục \( x \): Khi \( y = 0 \), \( 0 = 2x + 3 \) hay \( x = -\frac{3}{2} \). Điểm giao là \( \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \).

Sau đó, nối hai điểm này lại ta được đồ thị của hàm số \( y = 2x + 3 \).

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \( y = 2x + 3 \) và \( y = -x + 1 \):

1. Đặt \( 2x + 3 = -x + 1 \)
2. Giải phương trình: \( 2x + x = 1 – 3 \)

   \( 3x = -2 \)

   \( x = -\frac{2}{3} \)

3. Thay giá trị \( x \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \):

   \( y = 2 \left(-\frac{2}{3}\right) + 3 = -\frac{4}{3} + 3 = \frac{5}{3} \)

Vậy tọa độ giao điểm là \( \left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right) \).

Bài 2:Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (1, 2) \) và \( (3, 4) \):

Tính hệ số góc \( a \):

   \( a = \frac{4 – 2}{3 – 1} = \frac{2}{2} = 1 \)

2. Sử dụng điểm \( (1, 2) \) để tìm \( b \):

   \( y = ax + b \)

   \( 2 = 1 \cdot 1 + b \)

   \( 2 = 1 + b \)

   \( b = 1 \)

Vậy phương trình đường thẳng là \( y = x + 1 \).

Công thức hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) trong đó \( a \), \( b \) và \( c \) là các hằng số và \( a \neq 0 \). Đây là loại hàm số đa thức bậc hai, và đồ thị của nó là một đường cong hình parabol.

 Công thức tổng quát:\( y = ax^2 + bx + c \) (a ≠ 0)

Hàm số bậc hai được biểu diễn bằng công thức \( y = ax^2 + bx + c \), trong đó:

– \( y \) là giá trị của hàm số ứng với giá trị \( x \)

– \( a \) là hệ số của \( x^2 \), quyết định độ mở và hướng của parabol

– \( b \) là hệ số của \( x \), ảnh hưởng đến vị trí của đỉnh parabol

– \( c \) là hằng số tự do, xác định điểm giao của parabol với trục \( y \)

 Giải thích ý nghĩa của các hệ số \( a \), \( b \), \( c \)

– Hệ số \( a \): Hệ số \( a \) quyết định độ mở và hướng của parabol. Nếu \( a > 0 \), parabol mở lên trên. Nếu \( a < 0 \), parabol mở xuống dưới. Giá trị tuyệt đối của \( a \) càng lớn, parabol càng hẹp.

– Hệ số \( b \): Hệ số \( b \) ảnh hưởng đến vị trí ngang của đỉnh parabol. Nó cùng với \( a \) và \( c \) xác định vị trí của đỉnh parabol.

– Hệ số \( c \): Hệ số \( c \) là điểm giao của parabol với trục \( y \). Khi \( x = 0 \), \( y = c \).

Tính chất của hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số bậc hai (parabol)

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong hình parabol. Parabol này có tính đối xứng quanh một đường thẳng gọi là trục đối xứng.

Tính đối xứng của parabol

Parabol có tính đối xứng qua một đường thẳng đứng gọi là trục đối xứng. Trục đối xứng có phương trình \( x = -\frac{b}{2a} \).

Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng

– Trục đối xứng: Phương trình trục đối xứng là \( x = -\frac{b}{2a} \).

– Tọa độ đỉnh: Đỉnh của parabol có tọa độ \( \left( -\frac{b}{2a}, y \right) \), trong đó giá trị \( y \) được tính bằng cách thay \( x = -\frac{b}{2a} \) vào công thức của hàm số.

\( y = a\left( -\frac{b}{2a} \right)^2 + b\left( -\frac{b}{2a} \right) + c \)

\( y = a\left( \frac{b^2}{4a^2} \right) – \frac{b^2}{2a} + c \)

\( y = \frac{b^2}{4a} – \frac{b^2}{2a} + c \)

\( y = -\frac{b^2}{4a} + c \)

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là \( \left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c \right) \).

Bài tập ví dụ về hàm số 

Bài 1:Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Vẽ đồ thị hàm số \( y = x^2 – 4x + 3 \):

1. Xác định các hệ số: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \).
2. Tìm tọa độ đỉnh:

   \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)

   \( y = 1 \cdot 2^2 – 4 \cdot 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1 \)

   Vậy tọa độ đỉnh là \( (2, -1) \).

3. Tìm giao điểm với trục \( y \):

   Khi \( x = 0 \), \( y = 3 \). Điểm giao là \( (0, 3) \).

4. Tìm giao điểm với trục \( x \) bằng cách giải phương trình \( x^2 – 4x + 3 = 0 \):

   \( (x – 1)(x – 3) = 0 \)

   Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \). Điểm giao là \( (1, 0) \) và \( (3, 0) \).

Bài 2:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Xét hàm số \( y = -2x^2 + 4x + 1 \):

1. Tìm tọa độ đỉnh:

   \( x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1 \)

   \( y = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3 \)

   Vậy tọa độ đỉnh là \( (1, 3) \).

2. Do \( a < 0 \), parabol mở xuống dưới, nên giá trị lớn nhất của hàm số là \( y = 3 \). Không có giá trị nhỏ nhất vì parabol mở xuống dưới vô hạn.

Bài 3:Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình \( 2x^2 – 3x – 2 = 0 \):

Áp dụng công thức nghiệm:

   \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

   \( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \)

   \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \)

   \( x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} \)

   \( x = \frac{3 \pm 5}{4} \)

   \( x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \) và \( x = -\frac{1}{2} \).

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về công thức và tính chất của hàm số bậc nhất và bậc hai. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, phương trình bậc hai và nhiều vấn đề khác trong toán học.