Tổng và hiệu của hai vectơ – Định nghĩa và tính chất

Tổng và hiệu của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu rõ về phép cộng và phép trừ vectơ giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau, từ việc tính toán đơn giản đến ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật.

Định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b, vectơ được xác định bởi quy tắc sau:

  • Đặt điểm A, B, C sao cho \(\vec{AB} = \mathbf{a}\)\(\vec{BC} = \mathbf{b}\).
  • Nối A và C, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a+b.

Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b, vectơ được xác định bởi quy tắc sau:

  • Đặt điểm A, B, C sao cho \(\vec{AB} = \mathbf{a}\)\(\vec{BC} = \mathbf{-b}\) (vectơ đối của b).
  • Nối A và C, vectơ AC được gọi là hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a−b.

Quy tắc:

  • Quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\vec{AB} = \vec{AB} + \vec{BC}\)

  • Quy tắc ba điểm:
  • Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA=21​AB.
  • \(\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}\)

Tính chất tổng và hiệu của hai vectơ

  • Phép cộng vectơ có tính giao hoán: \(\vec{a} + \vec{b}= \vec{b} + \vec{a}\)
  • Phép cộng vectơ có tính kết hợp: \((\vec{a} + \vec{b}) + c = a+ (\vec{b} + \vec{c})\)
  • Vectơ 0 có tính chất: \(\vec{a} + \vec{0} = a\)
  • Vectơ đối: \(\vec{a} + \vec{-a}= 0\)

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a=(2;3) và b=(4;1). Tìm tổng và hiệu của hai vectơ a và b.

Giải:

  • a+b=(2+4;3+1)=(6;4).
  • a−b=(2−4;3−1)=(−2;2).

Ví dụ 2: Một vật chịu tác động của hai lực F1​​ và F2​​ có cùng độ lớn 10N. Biết góc giữa hai lực là 60°. Tìm hợp lực tác dụng lên vật.

Giải:

  • Hợp lực của hai lực F1​​ và F2​​ được biểu diễn bởi vectơ F1​​+F2​​.
  • Sử dụng quy tắc hình bình hành để xác định vectơ F1​​+F2​​.
  • Độ lớn của hợp lực là: F=F1​+F2​=2F1​=20N.

Bài tập có lời giải 

{Bài 1:} Cho \(\vec{a} = (2; 3)\) và \(\vec{b} = (-1; 4)\). Tìm \(\vec{a} + \vec{b}\) và \(\vec{a} – \vec{b}.\)

Lời giải
\(\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1); 3 + 4) = (1; 7).\)
\(\vec{a} – \vec{b} = (2 – (-1); 3 – 4) = (3; -1).\)
Bài 2:

Chứng minh rằng:

\(\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}\) với O là trung điểm của AB

Lời giải

Ta có:

\(\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{AB} \text{ và } \vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{BA}.\)

Suy ra

\(\vec{OA} + \vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BA} = \vec{O}.\)

Luyện tập 

Bài 1:
Cho \(\vec{a} = (2; 3) và \vec{b} = (-1; 4)\). Tìm:
a) \(\vec{a} + \vec{b} – \vec{a}\)
b)\(2\vec{a} – 3\vec{b}\)
c)\(\vec{a} + \vec{b} \text{ và } \vec{a} – \vec{b}\) có cùng phương hay không?

Bài 2: Cho hai điểm A và B có tọa độ (1;2)(4;5). Tìm:

  1. a) Tọa độ điểm M sao cho \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
  2. b) Tọa độ điểm N sao cho \( \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}\)

Chứng minh rằng:

  1. a) \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}\) với O là trọng tâm tam giác ABC.

b)\(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MD}\) với M là trung điểm của BC và D là điểm bất kỳ.

 

Bài 4: Một vật chịu tác động của ba lực F1​​, F2​​ và F3​​ có độ lớn lần lượt là 10N, 15N và 20N. Góc giữa hai lực F1​​ và F2​​ là 60°. Góc giữa hai lực F2​​ và F3​​ là 120°. Tìm hợp lực của ba lực này.

Bài 5: Một chiếc thuyền đang đi trên sông với vận tốc 10km/h. Vận tốc dòng nước là 5km/h. Vào lúc t = 0, thuyền bắt đầu đi từ A đến B theo hướng vuông góc với bờ sông. Biết AB = 100m. Tìm thời gian thuyền đi từ A đến B.

Hiểu rõ về tổng và hiệu của hai vectơ là nền tảng để giải quyết nhiều dạng bài tập toán học và ứng dụng thực tế. Bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về phép cộng và phép trừ vectơ.