Tổng hợp kiến thức về tính chất tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Khái niệm này giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tia trong một góc và từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Tính chất tia phân giác của một góc bao gồm các định lý và hệ quả về vị trí tương đối, tỉ số diện tích và các tính chất khác của tia phân giác.

Định nghĩa tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc và tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau.

Tính chất tia phân giác của một góc

Định lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác:

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Định lý đảo:

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Ví dụ: Cho góc AOB, tia OC là tia phân giác của góc AOB.

Ta có: AOC = BOC = \(\frac{1}{2}\) AOB.

Mọi điểm M nằm trên tia OC đều cách đều OA và OB.

Điểm M nằm bên trong góc AOB và cách đều OA và OB thì nằm trên tia OC.

Chứng minh tính chất tia phân giác của một góc

Định lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Chứng minh tính chất tia phân giác của một góc

Cho góc AOB và tia OC là tia phân giác của góc AOB. Lấy điểm M bất kỳ trên tia OC.

Vẽ MD vuông góc với OA (D thuộc OA).

Vẽ ME vuông góc với OB (E thuộc OB).

Xét hai tam giác vuông MOD và MOE, ta có:

OM là cạnh chung.

Góc MOD = góc MOE (vì OC là tia phân giác của góc AOB).

Do đó, hai tam giác vuông MOD và MOE bằng nhau (g.c.g).

Suy ra MD = ME.

Vậy điểm M nằm trên tia phân giác của góc AOB cách đều hai cạnh OA và OB.

Định lý đảo

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Chứng minh:

Cho góc AOB và điểm P nằm bên trong góc AOB sao cho PA = PB.

Vẽ tia OP.

Xét hai tam giác vuông OPA và OPB, ta có:

OP là cạnh chung.

PA = PB (theo giả thiết).

Do đó, hai tam giác vuông OPA và OPB bằng nhau (c.g.c).

Suy ra góc OPA = góc OPB.

Vậy tia OP là tia phân giác của góc AOB.

Dạng bài tập về tính chất tia phân giác của một góc 

Dạng 1: Vẽ tia phân giác của một góc.

Ví dụ: Vẽ tia phân giác của góc AOB.

Cách giải:

Bước 1: Dùng thước đo góc đo số đo của góc AOB.

Bước 2: Dùng thước kẻ vẽ tia OC sao cho góc AOC = góc BOC = \(\frac{1}{2}\) * số đo góc AOB.

Dạng 2: Chứng minh một điểm nằm trên tia phân giác của một góc.

Ví dụ: Cho góc AOB và điểm P nằm bên trong góc AOB sao cho PA = PB. Chứng minh rằng P nằm trên tia phân giác của góc AOB.

Cách giải:

Bước 1: Vẽ tia OP.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác vuông OPA và OPB bằng nhau (g.c.g).

Bước 3: Từ kết luận hai tam giác bằng nhau, suy ra góc OPA = góc OPB.

Bước 4: Suy ra tia OP là tia phân giác của góc AOB.

Dạng 3: Tính tỉ số diện tích của hai tam giác.

Ví dụ: Cho góc AOB và tia OC là tia phân giác của góc AOB. Lấy điểm M bất kỳ trên tia OC. Vẽ MD vuông góc với OA (D thuộc OA), vẽ ME vuông góc với OB (E thuộc OB). Chứng minh rằng \(\frac{S(MOD)}{S(MOE)} = \frac{OA}{OB}\).

Cách giải:

Bước 1: Chứng minh hai tam giác vuông MOD và MOE bằng nhau (g.c.g).

Bước 2: Suy ra MD = ME.

Bước 3: Tính diện tích hai tam giác MOD và MOE.

Bước 4: Suy ra \(\frac{S(MOD)}{S(MOE)} = \frac{OA}{OB}\).

Dạng 4: Giải bài toán liên quan đến tia phân giác và các đường thẳng khác trong tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = \(\frac{1}{3}\) BC. Chứng minh rằng AD đi qua trung điểm của MN (với N là trung điểm của AC).

Cách giải:

Bước 1: Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Bước 2: Chứng minh GD đi qua trung điểm của MN.

Bài tập vận dụng tính chất tia phân giác có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho góc AOB và tia OC là tia phân giác của góc AOB. Lấy điểm M bất kỳ trên tia OC. Vẽ MD vuông góc với OA (D thuộc OA), vẽ ME vuông góc với OB (E thuộc OB). Chứng minh rằng \(\frac{S(MOD)}{S(MOE)} = \frac{OA}{OB}\).

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh hai tam giác vuông MOD và MOE bằng nhau (g.c.g).

Vì OC là tia phân giác của góc AOB nên:

Góc MOD = góc MOE.

OM là cạnh chung.

Do đó, hai tam giác vuông MOD và MOE bằng nhau (g.c.g).

Bước 2: Suy ra MD = ME.

Từ hai tam giác vuông MOD và MOE bằng nhau, ta có:

MD = ME.

Bước 3: Tính diện tích hai tam giác MOD và MOE.

Diện tích tam giác MOD:

\(S(MOD) = \frac{1}{2} * MD * OD = \frac{1}{2} * ME * OE = S(MOE)\) .

Bước 4: Suy ra \(\frac{S(MOD)}{S(MOE)} = \frac{OA}{OB}\).

Vì MD = ME và S(MOD) = S(MOE) nên:

\(\frac{S(\text{MOD})}{S(\text{MOE})} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MD \cdot OD}{\frac{1}{2} \cdot ME \cdot OE} = \frac{OD}{OE}\) .

Lại vì OC là tia phân giác của góc AOB nên:

\(\frac{OD}{OE} = \frac{OA}{OB}\) .

Vậy \(\frac{S(MOD)} {S(MOE)} = \frac{OA}{OB}\) ..

Bài 2: Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = \(\frac{1}{3}\) BC . Chứng minh rằng AD đi qua trung điểm của MN (với N là trung điểm của AC).

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì AM là đường trung tuyến và D thuộc BC sao cho BD = \(\frac{1}{3}\) BC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Bước 2: Chứng minh GD đi qua trung điểm của MN.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

GD đi qua trung điểm của MN.

Kết luận:

Vậy AD đi qua trung điểm của MN.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng:

a) BD = CD.

b) DE // AB.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh tam giác ABD và tam giác ACD bằng nhau.

Vì AD là tia phân giác của góc ABC nên:

Góc BAD = góc CAD.

AB = AC (theo giả thiết).

AD là cạnh chung.

Do đó, hai tam giác vuông ABD và ACD bằng nhau (g.c.g).

Bước 2: Suy ra BD = CD.

Từ hai tam giác ABD và ACD bằng nhau, ta có:

BD = CD.

Bước 3: Chứng minh DE // AB.

Vì góc BAD = góc CAD (cmt) và hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // AB.

Vậy BD = CD và DE // AB.

Chủ đề Tính chất tia phân giác của một góc cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về tia phân giác và mối liên hệ của nó với các yếu tố khác của góc. Kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán hình học phức tạp hơn ở các lớp học sau.