Tổng hợp kiến thức quan trọng bài: Tính chất của phép cộng các số nguyên

Tính chất của phép cộng các số nguyên là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 6. Nắm vững tính chất của phép cộng giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến cộng trừ số nguyên.

Tính chất giao hoán

Phát biểu: Khi đổi vị trí của hai số hạng trong một phép cộng thì tổng của chúng không thay đổi.

Ký hiệu: a + b = b + a

Ví dụ: 5 + 3 = 3 + 5 = 8

Tính chất kết hợp

Phát biểu: Khi cộng nhiều số, ta có thể thực hiện cộng từng cặp hai số theo thứ tự tùy ý, kết quả không thay đổi.

Ký hiệu: (a + b) + c = a + (b + c)

Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Tính chất cộng với số 0

Phát biểu: Bất kỳ số nguyên nào cộng với số 0 đều bằng chính nó.

Ký hiệu: a + 0 = 0 + a = a

Ví dụ: 7 + 0 = 0 + 7 = 7

Tính chất cộng với số đối

Phát biểu: Tổng của một số nguyên và số đối của nó bằng 0.

Ký hiệu: a + (-a) = (-a) + a = 0

Ví dụ: 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

Hệ quả của tính chất cộng các số nguyên

Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Số 0 là số trung hòa của phép cộng.

Ví dụ:

Số 5 và -5 là hai số nguyên đối nhau.

0 + 7 = 7 + 0 = 7.

Các dạng toán về tính chất của phép cộng các số nguyên

Dạng 1: Chứng minh tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng số nguyên.

Ví dụ:

Chứng minh rằng: a + b = b + a với mọi số nguyên a, b.

Chứng minh rằng: (a + b) + c = a + (b + c) với mọi số nguyên a, b, c.

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức bằng cách sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp.

Ví dụ:

Tính: 2 + 3 + 5 + 1.

Tính: (4 + 6) + (8 + 10).

Dạng 3: Tìm số nguyên x, biết:

Ví dụ:

Tìm x, biết: x + 3 = 7.

Tìm x, biết: (x + 2) + 5 = 12.

Dạng 4: Giải bài toán bằng cách sử dụng tính chất cộng với số 0 và cộng với số đối.

Ví dụ:

Tìm số nguyên x, biết: x + (-5) = 2.

Tìm số nguyên b, biết: a + b = 0, với a là số nguyên đã cho.

Dạng 5: Chứng minh các hệ quả của tính chất cộng số nguyên.

Ví dụ:

Chứng minh rằng: Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Chứng minh rằng: Số 0 là số trung hòa của phép cộng.

Bài tập về tính chất của phép cộng các số nguyên có lời giải chi tiết

Bài 1: Chứng minh rằng: a + b = b + a với mọi số nguyên a, b.

Giải:

Ta có:

a + b = a + (b + 0) (tính chất cộng với số 0)

a + (b + 0) = (a + b) + 0 (tính chất kết hợp)

(a + b) + 0 = a + b (tính chất cộng với số 0)

Vậy a + b = b + a với mọi số nguyên a, b.

Bài 2: Tính: 2 + 3 + 5 + 1.

Giải:

Ta có:

2 + 3 + 5 + 1 = (2 + 3) + (5 + 1) (tính chất kết hợp)

= 5 + 6

= 11

Vậy 2 + 3 + 5 + 1 = 11.

Bài 3: Tìm x, biết: x + 3 = 7.

Giải:

Ta có:

x + 3 = 7

x = 7 – 3 (tính chất cộng với số đối)

x = 4

Vậy x = 4.

Bài 4: Tìm số nguyên b, biết: a + b = 0, với a là số nguyên đã cho.

Giải:

Ta có:

a + b = 0

b = 0 – a (tính chất cộng với số đối)

b = -a

Vậy b = -a.

Bài 5: Chứng minh rằng: Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Giải:

Gọi a và -a là hai số nguyên đối nhau.

Ta có:

a + (-a) = a + (a + 0) (tính chất cộng với số 0)

= (a + a) + 0 (tính chất kết hợp)

= 2a + 0 (tính chất giao hoán)

= 0 (tính chất cộng với số 0)

Vậy hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Luyện tập

Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b) + c = a + (b + c) với mọi số nguyên a, b, c.

Bài 2: Tính: 4 + 6 + 8 + 10.

Bài 3: Tìm x, biết: x + (-4) = 6.

Bài 4: Tìm số nguyên b, biết: a + b = 0, với a là số nguyên đã cho.

Bài 5: Chứng minh rằng: Số 0 là số trung hòa của phép cộng.

Bài 6: Cho 20 số nguyên. Biết rằng tổng của 19 số bất kỳ trong 20 số đó đều là số dương. Hỏi số còn lại là số nguyên dương hay số nguyên âm?

Bài 7: Cho a, b là hai số nguyên cùng dấu. Chứng minh rằng: a + b > 0.

Bài 8: Cho a, b, c là ba số nguyên cùng dấu. Chứng minh rằng: a + b + c > 0.

Qua bài học này, chúng ta đã học được bốn tính chất cơ bản của phép cộng các số nguyên: tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, tính chất cộng với số 0 và tính chất cộng với số đối.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn