Tổng hợp kiến thức về tính chất ba đường phân giác của tam giác

Tính chất ba đường phân giác của một góc là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Chủ đề này giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tia phân giác trong một tam giác và từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Tính chất ba đường phân giác của tam giác bao gồm các định lý và hệ quả về vị trí tương đối, tỉ số diện tích và các tính chất khác của ba đường phân giác.

Định nghĩa ba đường phân giác của tam giác

Đường phân giác: là tia xuất phát từ một đỉnh của tam giác và chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.

Ba đường phân giác: là ba tia phân giác của ba góc trong của tam giác.

Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

Trực tâm của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Chứng minh tính chất

Chứng minh ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.

Cách 2: Sử dụng định lý Talet.

Chứng minh trực tâm của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung tuyến.

Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pythagoras.

Ví dụ

Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại H.

H là trực tâm của tam giác ABC.

HA = HB = HC.

Các dạng toán thường gặp về tính chất ba đường phân giác của tam giác

Dạng 1: Chứng minh ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

Cách giải:

Có nhiều cách để giải bài toán này, bạn có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.

Cách 2: Sử dụng định lý Talet.

Dạng 2: Chứng minh trực tâm của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng HA = HB = HC.

Cách giải:

Có nhiều cách để giải bài toán này, bạn có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung tuyến.

Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pythagoras.

Dạng 3: Vận dụng tính chất ba đường phân giác để giải bài toán.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tính tỉ số diện tích của tam giác AHB và tam giác AHC.

Cách giải:

Sử dụng tính chất ba đường phân giác để chứng minh AH là đường cao của tam giác ABC.

Sử dụng tính chất đường cao và định lý Pythagoras để tính diện tích hai tam giác AHB và AHC.

Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Cho tam giác ABC, các tia phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

H là trực tâm của tam giác ABC.

HA = HB = HC.

Lời giải:

Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

Cách 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên:

BAD = CAD.

Vì BE là tia phân giác của góc ABC nên:

ABE = CBE.

Xét hai tam giác ABE và ACD, ta có:

BAD = CAD (cmt).

AB = AC (theo giả thiết).

BAE chung.

Do đó, hai tam giác ABE và ACD bằng nhau (g.c.g).

Suy ra:

AE = AD.

Xét hai tam giác BDC và BEC, ta có:

CBE = ABE (cmt).

BC = AB (theo giả thiết).

BCE chung.

Do đó, hai tam giác BDC và BEC bằng nhau (g.c.g).

Suy ra:

BE = BD.

Vì AE = AD và BE = BD nên ABED là hình thoi.

Do đó, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H.

Vì CF là tia phân giác của góc ACB nên:

ACF = BCF.

Xét hai tam giác BFH và CHF, ta có:

BFH = CHF (vì FH vuông góc với BC).

BF = CF (theo giả thiết).

BCF = ACF (cmt).

Do đó, hai tam giác BFH và CHF bằng nhau (g.c.g).

Suy ra:

BH = CH.

Vì ABED là hình thoi và BH = CH nên AH vuông góc với BC.

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.

Chứng minh HA = HB = HC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

AH vuông góc với BC.

BH vuông góc với BC.

CH vuông góc với BC.

Suy ra:

HA = HB = HC.

Kết luận:

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC và HA = HB = HC.

Học sinh cần nắm vững các định nghĩa, định lý và hệ quả liên quan đến chủ đề này để có thể áp dụng vào giải bài tập một cách chính xác.