Hệ thống kiến thức đầy đủ về tính chất ba đường cao của tam giác

Tính chất ba đường cao của tam giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Hiểu rõ tính chất của ba đường cao giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập liên quan đến tam giác một cách hiệu quả.

Định nghĩa đường cao của tam giác

Đường cao của tam giác: là đoạn thẳng vuông góc với cạnh đáy của tam giác và đi qua đỉnh đối diện với cạnh đáy đó.

Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

Góc tạo bởi hai đường cao bất kỳ của tam giác là góc vuông.

Chứng minh tính chất ba đường cao của tam giác

Chứng minh ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm.

Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Ta cần chứng minh ba đường cao AA’, BB’, CC’ cùng đi qua điểm H.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH, BH, CH là ba đường cao của tam giác ABC.

Xét hai tam giác AHB và AHC, ta có:

  • AH chung.
  • Góc AHB = góc AHC (vì AH là đường cao của tam giác ABC).
  • Góc HAB = góc HAC (vì AH là tia phân giác của góc BAC).

Do đó, hai tam giác AHB và AHC bằng nhau (g.c.g).

Suy ra: AB = AC.

Xét hai tam giác ABH và ABC, ta có:

  • AB chung.
  • Góc ABH = góc ABC (vì AH là đường cao của tam giác ABC).
  • AH = BC (vì AB = AC).

Do đó, hai tam giác ABH và ABC bằng nhau (c.g.c).

Suy ra: Góc BAH = góc BAC.

Mà góc BAH + góc HAC = 180° (hai góc kề bù).

Do đó, góc BAH = góc HAC = 90°.

Vậy AA’ vuông góc với BC.

Tương tự, ta có thể chứng minh BB’ và CC’ vuông góc với BC.

Do đó, ba đường cao AA’, BB’, CC’ cùng đi qua điểm H.

Chứng minh trực tâm của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó

Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Ta cần chứng minh H cách đều ba đỉnh A, B, C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH, BH, CH là ba đường cao của tam giác ABC.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Xét hai tam giác AHM và BHM, ta có:

  • AM = BM (vì M là trung điểm của BC).
  • Góc AMH = góc BMH (vì AH là đường cao của tam giác ABC).
  • HM chung.

Do đó, hai tam giác AHM và BHM bằng nhau (c.g.c).

Suy ra: AH = BH.

Tương tự, ta có thể chứng minh BH = CH.

Do đó, H cách đều ba đỉnh A, B, C.

  1. Ví dụ:
  • Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.
  • Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.

Các dạng bài tập và phương pháp giải về tính chất ba đường cao của tam giác 

Dạng 1: Chứng minh điểm nằm trên đường cao của một tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường cao AH. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Cách giải:

Sử dụng tính chất ba đường cao của tam giác.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH, BH, CH là ba đường cao của tam giác ABC.

Vì M nằm trên đường cao AH nên MH là đường cao của tam giác ABC.

Do đó, MH vuông góc với BC.

Dạng 2: Chứng minh điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác thì nằm trên đường cao của tam giác đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng M nằm trên một trong ba đường cao của tam giác ABC.

Cách giải:

Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.

Vì M cách đều ba đỉnh A, B, C nên M là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó, M nằm trên một trong ba đường cao của tam giác ABC.

Dạng 3: Vận dụng tính chất ba đường cao để giải bài toán.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.

Cách giải:

  • Sử dụng tính chất ba đường cao để chứng minh AH là đường trung trực của CE.
  • Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh EA = EB.

Bài tập vận dụng tính chất ba đường cao của tam giác 

Dạng 1: Chứng minh điểm nằm trên đường cao của một tam giác.

Bài tập: Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường cao AH. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH, BH, CH là ba đường cao của tam giác ABC.

Vì M nằm trên đường cao AH nên MH là đường cao của tam giác ABC.

Xét hai tam giác AMH và BMH, ta có:

  • AM = BM (vì MH là đường cao của tam giác ABC).
  • Góc AMH = góc BMH (vì MH là đường cao của tam giác ABC).
  • MH chung.

Do đó, hai tam giác AMH và BMH bằng nhau (c.g.c).

Suy ra:

Góc MAH = góc MBH.

Mà góc MAH + góc MBH = 180° (hai góc kề bù).

Do đó, góc MAH = góc MBH = 90°.

Vậy MH vuông góc với BC.

Dạng 2: Chứng minh điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác thì nằm trên đường cao của tam giác đó.

Bài tập: Cho tam giác ABC, điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng M nằm trên một trong ba đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

Vì M cách đều ba đỉnh A, B, C nên MA = MB = MC.

Xét hai tam giác AMB và AMC, ta có:

  • AM chung.
  • AM = BM (cmt).
  • Góc AMB = góc AMC (vì M cách đều hai điểm A và B).

Do đó, hai tam giác AMB và AMC bằng nhau (c.g.c).

Suy ra:

Góc MAB = góc MAC.

Mà góc MAB + góc MAC = 180° (hai góc kề bù).

Do đó, góc MAB = góc MAC = 90°.

Vậy AM là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự, ta có thể chứng minh MB hoặc MC là đường cao của tam giác ABC.

Do đó, M nằm trên một trong ba đường cao của tam giác ABC.

Dạng 3: Vận dụng tính chất ba đường cao để giải bài toán.

Bài tập: Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.

Lời giải:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH, BH, CH là ba đường cao của tam giác ABC.

Vì d vuông góc với BC nên AH vuông góc với d.

Do đó, AH là đường trung trực của CE.

Suy ra, EA = EB.

Luyện tập

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường cao AH. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Bài 2. Cho tam giác ABC, điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng M nằm trên một trong ba đường cao của tam giác ABC.

Bài 3. Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng EA = EB.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng BH + HC = AB.

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với AH.

Bài 7. Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng HE = HF.

Bài 8. Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng DE vuông góc với AC.

Bài 9. Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng BE vuông góc với AB.

Bài 10. Cho tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với BC. Điểm E nằm trên đường thẳng d. Chứng minh rằng AE = AF.

Chủ đề Tính chất ba đường cao của tam giác cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về ba đường cao và mối liên hệ của nó với các yếu tố khác của hình học. Kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán hình học phức tạp hơn ở các lớp học sau.