Tích của vectơ với một số: Định nghĩa và tính chất

Tích của vectơ với một số là một phép toán cơ bản trong chương trình Hình học 10. Phép toán này có nhiều ứng dụng trong giải tích vectơ, hình học vectơ và cơ học.

Định nghĩa tích của vectơ với một số

Cho một số thực k và vectơ a:

Tích của vectơ a với số k là một vectơ được ký hiệu là k.a hoặc k→a.

Hướng của vectơ k.a:

  • Cùng hướng với vectơ a nếu k > 0.
  • Ngược hướng với vectơ a nếu k < 0.

Độ dài của vectơ k.a:

\(|k.a| = |k|.|a|\)

Quy ước

  • 0.a = 0 (vectơ không).
  • k.0 = 0 (bất kỳ số thực nào nhân với vectơ không đều bằng vectơ không).

Ví dụ:

  • 2.a có cùng hướng với a và độ dài gấp đôi a.
  • -3.a có hướng ngược với a và độ dài gấp ba lần a.

Tính chất tích của vectơ với một số

Tính phân phối với phép cộng vectơ

\(k.(a + b) = k.a + k.b\)

Tính phân phối với phép cộng số

\((a + b).c = a.c + b.c\)

Tính kết hợp

\(a.(b.c) = (a.b).c\)

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ \(\vec{a}=(a1​,a2​)\) và \(\vec{b}=(b1​,b2​)\) cùng phương khi và chỉ khi:

  • Tỉ lệ giữa các tọa độ tương ứng của hai vectơ bằng nhau:

\(\frac{a_1}{b_1} – \frac{a_2}{b_2}\)

  • Hai vectơ có một tọa độ bằng 0 và hai tọa độ còn lại tỉ lệ với nhau:

  • a1​=0 và b1​=0, hoặc

  • a2​=0 và b2​=0, hoặc

  • a1​=b1​=0.

Một số dạng bài tập về tích của vector với một số

Dạng 1: Tính tích của vectơ với một số

Cho vectơ a=(a1​,a2​) và số thực k, hãy tính k.a.

Ví dụ:

  • Cho a=(2,3) và k = 4, tính 4.a.
  • Cho b=(−1,5) và k = -2, tính -2.b.

Dạng 2: Vận dụng tích của vectơ với một số để giải bài toán hình học

  1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB

Cho hai điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂), trung điểm M của đoạn thẳng AB được xác định bởi:

\(M = (1/2).A + (1/2).B\)

  1. Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho ba điểm A, B, C, vectơ AC được phân tích theo hai vectơ AB và AC như sau:

\(AC = k.AB + l.AC\)

Với k và l là các số thực.

  1. Tìm tọa độ của điểm D trên đường thẳng AB

Cho hai điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂), điểm D nằm trên đường thẳng AB có tọa độ được xác định bởi:

\(D = t.A + (1 – t).B\)

Với t là một số thực.

Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức vectơ

Sử dụng tính chất của tích vectơ với một số để chứng minh các đẳng thức vectơ.

Ví dụ:

Chứng minh rằng:

  • a+b=b+a
  • k(a+b)=ka+kb
  • (k+l)a=ka+la

Dạng 4: Giải bài toán ứng dụng

Tích của vectơ với một số được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học và vật lý, bao gồm:

  • Giải tích vectơ
  • Hình học vectơ
  • Cơ học

Tóm lại, tích của vectơ với một số là một phép toán quan trọng trong toán học và vật lý. Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích vectơ, hình học vectơ và cơ học