Tỉ lệ thức là một chủ đề quen thuộc và thường gặp trong chương trình Toán lớp 7. Bài học này giúp học sinh nắm được định nghĩa, tính chất và cách giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức.
Định nghĩa tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)Cách viết khác a:b = c:d
Tính chất tỉ lệ thức
Tính chất 1: Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì ad = bc
Tính chất 2: Nếu ad = bc thì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (a, b, c, d ≠ 0)
Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ta có thể suy ra:
\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\) \(\frac{c}{a} = \frac{d}{b}\) \(\frac{d}{a} = \frac{c}{b}\)Tính chất 4: Ta có thể hoán đổi vị trí các số hạng trong một tỉ lệ thức.
Ví dụ: Cho tỉ lệ thức 2 : 3 = 4 : 6. Ta có:
2 x 6 = 3 x 4 = 12
2 : 4 = 3 : 6 = \(\frac{1}{2}\)
4 : 2 = 6 : 3 = 2
6 : 2 = 3 : 4 = \(\frac{3}{2}\)
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước
Phương pháp:
Xác định các số hạng có mối quan hệ tỉ lệ.
Viết tỉ lệ thức từ các số hạng đã xác định.
Ví dụ:
Từ các số 3, 6, 9, 12, ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau:
\(\frac{3}{9} = \frac{6}{12}\) \(\frac{6}{3} = \frac{12}{9}\)Tìm số chưa biết trong một tỉ lệ thức
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} => a.d = b.c\)Giải phương trình để tìm x.
Ví dụ:
Tìm x trong tỉ lệ thức:
\(\frac{x}{3} = \frac{4}{7}\)Giải:
Áp dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức, ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{4}{7} => x.7 = 3.4 => x = \frac{12}{7}\)Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để giải bài toán
Phương pháp giải:
Dựa vào yêu cầu của bài toán, lựa chọn tính chất phù hợp của tỉ lệ thức để giải.
Biến đổi và tính toán để tìm kết quả.
Ví dụ:
Một hình chữ nhật có chiều dài là 12cm, chiều rộng là 8cm. Tìm tỉ số giữa diện tích hình chữ nhật và diện tích hình vuông có cạnh bằng chiều dài hình chữ nhật.
Giải:
Gọi diện tích hình chữ nhật là S và diện tích hình vuông là S’.
Ta có: \(S/S’ = \frac{12 x 8}{12 x 12}\)
Áp dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức, ta có:
\(S/S’ = \frac{12 x 8}{12 x 12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)Vậy tỉ số giữa diện tích hình chữ nhật và diện tích hình vuông là \frac{2}{3}[/latex]
Chứng minh đẳng thức bằng cách sử dụng tỉ lệ thức
Phương pháp giải:
Biến đổi đẳng thức đã cho thành các tỉ lệ thức.
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để chứng minh các tỉ lệ thức có giá trị bằng nhau.
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
\(\frac{a + b}{a – b} = \frac{c + d}{c – d}\)Giải:
Biến đổi đẳng thức đã cho, ta có:
\(\frac{a + b}{a – b} = \frac{c + d}{c – d} => \frac{a + b}{c – d} = \frac{a – b}{c + d}\)Chia hai vế cho (a – b)(c – d) (a, b, c, d ≠ b, ≠ d), ta có:
\(\frac{a + b}{a – b} = \frac{c + d}{c – d}\)Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bài tập về tỉ lệ thức lớp 7 có lời giải chi tiết
Bài 1: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 3 thì y = 5. Tìm giá trị của y khi x = 6.
Giải:
Cách 1:
Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có:
x.y = k (k là hằng số)
Khi x = 3 và y = 5, ta có:
3.5 = k
k = 15
Vậy khi x = 6, ta có:
6.y = 15
\(y = \frac{15}{6}\)y = 2,5
Cách 2:
Gọi x1, x2 là hai giá trị bất kỳ của x và y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y.
Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có:
x1.y1 = x2.y2
Thay x1 = 3, y1 = 5 và x2 = 6, ta có:
3.5 = 6.y2
\(y2 = \frac{3.5}{6}\)y2 = 2,5
Vậy khi x = 6 thì y = 2,5.
Bài 2: Tìm x trong tỉ lệ thức:
\(\frac{x + 2}{x – 1} =\frac{4}{3}\)Giải:
Áp dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức, ta có:
(x + 2).3 = (x – 1).4
3x + 6 = 4x – 4
x = 10
Vậy x = 10.
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài là 12cm, chiều rộng là 8cm. Tìm tỉ số giữa diện tích và chu vi của hình chữ nhật.
Giải:
Diện tích hình chữ nhật là:
\(S = 12.8 = 96 (cm^2)\)Chu vi hình chữ nhật là:
C = 2.(12 + 8) = 40 (cm)
Tỉ số giữa diện tích và chu vi của hình chữ nhật là:
\(S/C = \frac{96}{40} = \frac{12}{5}\)Vậy tỉ số giữa diện tích và chu vi của hình chữ nhật là \frac{12}{5}
Luyện tập
Bài 1: Lập tỉ lệ thức từ các số sau:
a) 3, 6, 9, 12
b) 2, 4, 8, 16
Bài 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a) \(\frac{x}{5} =\frac{3}{2}\)
b)\(\frac{4}{x} = \frac{6}{5}\)
Bài 3: a) Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 3 thì y = 6. Tìm giá trị của y khi x = 5.
b) Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 2 thì y = 8. Tìm giá trị của y khi x = 4.
Bài 4: Một hình tam giác có độ dài đáy là 10cm, chiều cao là 8cm. Tìm tỉ số giữa độ dài đáy và chiều cao của hình tam giác.
Bài 5: Một hình thang có độ dài đáy lớn là 12cm, độ dài đáy bé là 8cm, chiều cao là 5cm. Tìm tỉ số giữa diện tích và chu vi của hình thang.
Bài 6: Một hình tròn có bán kính là 6cm. Tìm tỉ số giữa chu vi và diện tích của hình tròn.
Bài 7: Một hình vuông có cạnh là 5cm. Tìm tỉ số giữa đường chéo và cạnh của hình vuông.
Bài 8: Một hình thoi có độ dài đường chéo thứ nhất là 12cm, độ dài đường chéo thứ hai là 8cm. Tìm tỉ số giữa độ dài đường chéo thứ nhất và độ dài đường chéo thứ hai của hình thoi.
Bài 9: Một hình chữ nhật có chiều dài là 15cm, chiều rộng là 10cm. Tìm tỉ số giữa diện tích và chu vi của hình chữ nhật.
Qua bài học về tỉ lệ thức, chúng ta đã nắm được các định nghĩa, tính chất và cách giải các bài toán liên quan. Hiểu rõ kiến thức này sẽ giúp học sinh học tốt các chủ đề tiếp theo và ứng dụng vào thực tế.
