Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 6.Bài viết này sẽ trình bày về khái niệm tập hợp, các loại tập hợp, cách mô tả tập hợp, các phép toán trên tập hợp và một số ứng dụng của tập hợp trong thực tế.
Khái niệm tập hợp
Tập hợp là khái niệm cơ bản (không định nghĩa) thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.
Ký hiệu:
- ∈: là phần tử của.
- ∉: không là phần tử của.
Ví dụ:
+ Tập hợp đồ dùng học tập.
+ Tập hợp các môn học lớp 6.
+ Tập hợp các chữ cái in hoa.
+ Tập hợp các số chẵn.
+ Tập hợp các số lẻ.
Cách viết tập hợp
Liệt kê các phần tử của tập hợp trong ngoặc nhọn, theo thứ tự tùy ý, không lặp lại.
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp
Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn 6 được viết là: A = {1; 2; 3; 4; 5}
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.
Các loại tập hợp:
Tập hợp rỗng: là tập hợp không có phần tử nào.
Tập hợp con: là tập hợp có tất cả các phần tử của nó đều thuộc tập hợp khác.
Tập hợp lũy thừa: là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con của một tập hợp cho trước.
Biểu đồ Venn
Biểu đồ Venn: là một dạng biểu đồ hình tròn được sử dụng để minh họa các mối quan hệ giữa các tập hợp.
Cách vẽ:
- Vẽ các hình tròn để biểu diễn các tập hợp.
- Vị trí các hình tròn thể hiện mối quan hệ giữa các tập hợp.
Quan hệ giữa các tập hợp
Tập hợp bằng nhau: hai tập hợp được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử.
Tập hợp con: tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B nếu tất cả các phần tử của A đều là phần tử của B.
Giao của hai tập hợp: là tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Hợp của hai tập hợp: là tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó.
Một số phép toán trên tập hợp
Giao của hai tập hợp
Ký hiệu: A ∩ B.
Định nghĩa: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Ví dụ:
Cho A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}.
A ∩ B = {2, 3}.
Hợp của hai tập hợp
Ký hiệu: A ∪ B.
Định nghĩa: Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó.
Ví dụ:
Cho A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.
Hiệu của hai tập hợp
Ký hiệu: A \ B.
Định nghĩa: Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B.
Ví dụ:
Cho A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}.
A \ B = {1}.
Phần bù của tập hợp
Ký hiệu: A\C, trong đó C là tập hợp chứa tất cả các phần tử đang xét.
Định nghĩa: Phần bù của tập hợp A trong tập hợp C là tập hợp gồm các phần tử thuộc C mà không thuộc A.
Ví dụ:
Cho A = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4, 5}.
A\C = {4, 5}.
Tính chất của các phép toán trên tập hợp
Giao hoán:
A ∩ B = B ∩ A.
A ∪ B = B ∪ A.
Kết hợp:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Phân phối:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Bài tập có lời giải chi tiết bài tập hợp
Bài 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3} và B = {2; 3; 5}. Tìm:
a. A ∩ B
b. A \ B
c. A ∪ B.
Giải:
a. A ∩ B = {2; 3}.
b. A ∪ B = {1; 2; 3; 5}.
c. A \ B = {1}.
Bài 2: Cho tập hợp A = {x | x là số tự nhiên nhỏ hơn 10}.
Liệt kê các phần tử của tập hợp A.
Tìm số phần tử của tập hợp A.
Giải
A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
b. A có 10 phần tử.
Bài 3: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4} và B = {3; 4; 5; 6}. Chứng minh rằng A ⊂ B.
Giải:
Mọi phần tử của A đều thuộc B.
Do đó, A ⊂ B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {x | x là số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10}.
Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Giải:
A = {x | x là số tự nhiên chẵn, x < 10}.
Bài 5: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3} và B = {2; 3; 4}. Tìm tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Giải:
C = {1}.
Bài 6: Cho hai tập hợp A = {x | x là số tự nhiên nhỏ hơn 10} và B = {x | x là số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10}. So sánh số phần tử của hai tập hợp A và B.
Giải:
A có 10 phần tử.
B có 5 phần tử.
Vậy, số phần tử của tập hợp A nhiều hơn số phần tử của tập hợp B.
Bài 7: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4} và B = {3; 4; 5; 6}. Tìm tập hợp D gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B.
Giải:
D = {3; 4}.
Bài 8: Cho hai tập hợp A = {x | x là số tự nhiên chẵn} và B = {x | x là số tự nhiên lẻ}.Chứng minh rằng A ∩ B = Ø.
Giải:
Không có số tự nhiên nào vừa chẵn vừa lẻ.
Do đó, A ∩ B = Ø.
Bài 9: Cho tập hợp A = {x | x là số tự nhiên nhỏ hơn 20} và B = {x | x là số tự nhiên chia hết cho 3}. Tìm tập hợp E gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B.
Giải:
E = {1; 2; 5; 7; 8; 11; 13; 16; 17; 19}.
Bài 10: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và B = {2; 3; 5; 6; 7}.Tìm tập hợp F gồm các phần tử thuộc một trong hai tập hợp A và B.
Giải:
F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Hiểu rõ khái niệm tập hợp và các phép toán trên tập hợp là nền tảng giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập toán học khác nhau.
Chúc các bạn học tốt!
