Khái niệm và cách tính số trung bình cộng

Số trung bình cộng là một khái niệm thống kê quan trọng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống. Việc học về số trung bình cộng giúp học sinh nắm vững cách tính và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Khái niệm số trung bình cộng

Số trung bình cộng của một dấu hiệu X, kí hiệu \(\bar{X}\), là số dùng làm đại diện cho một dấu hiệu khi phân tích hoặc so sánh nó với các biến lượng cùng loại.

Quy tắc tìm số trung bình cộng

Số trung bình cộng của một dấu hiệu được tính từ bảng tần số theo cách sau:

– Nhân từng giá trị với tần số tương ứng.

– Cộng tất cả các tích vừa tìm được.

– Chia tổng đó cho các giá trị (tức tổng các tần số).

Công thức tính số trung bình cộng

\(\bar{X} = \frac{x_1n_1 + x_2n_2 + x_3n_3 + \ldots + x_kn_k}{N}\)

 \(\bar{X}\): Số trung bình cộng

x1, x2, …, xn: Giá trị của dấu hiệu X

n: Số giá trị của dấu hiệu

n1, n2, …, nk: Tần số của các giá trị x1, x2, …, xk

N: Tổng số tần số

Tính chất số trung bình cộng

Số trung bình cộng của một dấu hiệu:

Luôn bằng tổng các giá trị của dấu hiệu chia cho số giá trị của dấu hiệu.

Bị ảnh hưởng bởi mọi giá trị của dấu hiệu.

Càng gần với giá trị của các giá trị trong dấu hiệu thì càng đại diện tốt cho dấu hiệu đó.

Mốt của dấu hiệu

Khái niệm

Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số.

Kí hiệu: Mo.

Cách tìm mốt

Bước 1: Lập bảng tần số.

Bước 2: Xác định giá trị có tần số lớn nhất.

Các dạng toán về chuyên đề số trung bình cộng lớp 7

Dạng 1: Tìm số trung bình cộng của các số cho trước

Đây là dạng toán cơ bản và chúng ta chỉ cần áp dụng công thức là có thể dễ dàng tính toán.

Ví dụ: bài 15 (SGK toán 7 – trang 20)

Nghiên cứu “tuổi thọ” của một loại bóng đèn, người ta đã chọn tùy ý 50 bóng và bật sáng liên tục cho tới lúc chúng tự tắt. “Tuổi thọ” của các bóng (tính theo giờ) được ghi lại ở bảng 23 (làm tròn đến hàng chục):

Tuổi thọ (x) 1150 1160 1170 1180 1190
Số bóng đèn tương ứng (n) 5 8 12 18 7 N=50

Vậy áp dụng công thức ta có:

X = 1150.5+1160.8+1170.12+1180.18+1190.750 = 1172,8 (giờ)

Dạng 2: Tìm số khi biết số trung bình cộng

Với dạng này, đề bài sẽ cho ta biết trước về số trung bình cộng của dãy số và một số dữ liệu cần thiết, yêu cầu chúng ta phải tìm các số liệu còn thiếu. Tùy thuộc vào yêu cầu đề bài mà ta sẽ có cách giải tương ứng.

Ví dụ: Tìm số nhỏ hơn biết số trung bình cộng của hai số bằng 9 và số lớn hơn – số nhỏ hơn = 8.

Gọi số cần tìm là x vậy suy ra số lớn hơn = x + 8.

TBC của 2 số bằng 9 nên: 9 = x+x+82 suy ra x=5

Dạng 3: Tìm trung bình cộng khi giá trị là các khoảng

Ví dụ: bài 18 (SGK – trang 21)

Với dạng bài này, trước tiên ta cần tính số trung bình cộng của GTLN và GTNN của mỗi lớp. Ví dụ: số trung bình cộng của lớp 110 -120 là 115. Tương tự ta tính được những lớp khác.

Bài tập vận dụng về số trung bình cộng 

Bài 1:Một lớp học có 30 học sinh. Khi khảo sát về số cây mà mỗi học sinh trồng được trong đợt phát động trồng cây xanh, cô giáo nhận thấy bảng thống kê sau:

Số cây Tần số
1 4
2 8
3 9
4 5
5 4

Hãy tính số trung bình cộng số cây mà mỗi học sinh trồng được.

Lời giải:

Số trung bình cộng số cây mà mỗi học sinh trồng được là:

 \(X = \frac{1 × 4 + 2 × 8 + 3 × 9 + 4 × 5 + 5 × 4}{30} = 3,1\)

Vậy số trung bình cộng số cây mà mỗi học sinh trồng được là 3,1.

Bài 2: Một cửa hàng bán hoa thống kê số bông hoa bán được trong 5 ngày như sau:

Ngày Số bông hoa
Thứ Hai 120
Thứ Ba 150
Thứ Tư 180
Thứ Năm 210
Thứ Sáu 190

Hãy tính số trung bình cộng số bông hoa bán được trong mỗi ngày.

Lời giải:

Số trung bình cộng số bông hoa bán được trong mỗi ngày là:

 \(X = \frac{120 + 150 + 180 + 210 + 190}{5} = 170\)

Vậy số trung bình cộng số bông hoa bán được trong mỗi ngày là 170.

Bài 3:

Một nhóm học sinh tham gia khảo sát chiều cao của các bạn trong lớp. Dưới đây là bảng thống kê kết quả khảo sát:

Chiều cao (cm) Tần số
130 3
135 5
140 8
145 7
150 2

Hãy tính chiều cao trung bình của các bạn học sinh trong lớp.

Lời giải:

Chiều cao trung bình của các bạn học sinh trong lớp là:

 \(X =\frac{130 × 3 + 135 × 5 + 140 × 8 + 145 × 7 + 150 × 2}{25} = 140,4\)

Vậy chiều cao trung bình của các bạn học sinh trong lớp là 140,4 cm.

Bài 4:

Một công ty thống kê số sản phẩm sản xuất được trong 10 ngày như sau:

Ngày Số sản phẩm
1 1000
2 1100
3 1200
4 1300
5 1400
6 1500
7 1600
8 1700
9 1800
10 1900

Hãy tính số trung bình cộng số sản phẩm sản xuất được trong mỗi ngày.

Lời giải:

Số trung bình cộng số sản phẩm sản xuất được trong mỗi ngày là:

 \(X = \frac{1000 + 1100 + 1200 + 1300 + 1400 + 1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 1900}{10} = 1500\)

Vậy số trung bình cộng số sản phẩm sản xuất được trong mỗi ngày là 1500.

Tóm lại, bài học đã trình bày khái niệm số trung bình cộng, cách tính và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế.