Quy tắc đếm: Định nghĩa, và bài tập cụ thể

Quy tắc đếm là một tập hợp các quy tắc được sử dụng để xác định số lượng cách thực hiện một công việc. Có hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về hai quy tắc này, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể để giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng chúng vào giải bài tập.

Lý thuyết Quy tắc đếm lớp 11

Quy tắc cộng

Định nghĩa:

Nếu có hai hành động A và B không giao nhau, nghĩa là không có kết quả nào chung giữa hai hành động, thì số cách thực hiện một trong hai hành động A hoặc B là tổng số cách thực hiện hành động A và số cách thực hiện hành động B.

Công thức:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

trong đó:

  • n(A ∪ B): số cách thực hiện một trong hai hành động A hoặc B.
  • n(A): số cách thực hiện hành động A.
  • n(B): số cách thực hiện hành động B.

Ví dụ:

Có 5 cách để chọn một học sinh từ lớp A và 7 cách để chọn một học sinh từ lớp B. Khi đó, có 5 + 7 = 12 cách để chọn một học sinh từ một trong hai lớp A hoặc B.

Quy tắc nhân

Định nghĩa:

Nếu có hai hành động A và B liên tiếp nhau, nghĩa là để thực hiện hành động B ta phải thực hiện hành động A trước, thì số cách thực hiện hai hành động A và B là tích số cách thực hiện hành động A và số cách thực hiện hành động B sau khi đã thực hiện hành động A.

Công thức:

n(A ∩ B) = n(A) . n(B|A)

trong đó:

  • n(A ∩ B): số cách thực hiện hai hành động A và B.
  • n(A): số cách thực hiện hành động A.
  • n(B|A): số cách thực hiện hành động B sau khi đã thực hiện hành động A.

Ví dụ:

Có 5 cách để chọn một học sinh từ lớp A và 7 cách để chọn một học sinh từ lớp B sau khi đã chọn một học sinh từ lớp A. Khi đó, có 5 . 7 = 35 cách để chọn một học sinh từ lớp A và sau đó chọn một học sinh từ lớp B.

Quy tắc bù trừ

Định nghĩa:

Số cách thực hiện một công việc là hiệu số giữa số cách thực hiện để công việc đó xảy ra và số cách thực hiện để công việc đó không xảy ra.

Công thức:

n(A) = n(Ω) – n(Ã)

trong đó:

  • n(A): số cách thực hiện công việc A.
  • n(Ω): số cách thực hiện tất cả các công việc có thể xảy ra.
  • n(Ã): số cách thực hiện để công việc A không xảy ra.

Ví dụ:

Có 10 quả bóng được đánh số từ 1 đến 10. Có bao nhiêu cách để chọn ra 3 quả bóng?

Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân.

Có 10 cách để chọn quả bóng đầu tiên, 9 cách để chọn quả bóng thứ hai và 8 cách để chọn quả bóng thứ ba. Khi đó, có 10 . 9 . 8 = 720 cách để chọn 3 quả bóng.

Cách 2: Sử dụng quy tắc bù trừ.

Có 1 cách để chọn 3 quả bóng không thoả mãn yêu cầu (ví dụ: 3 quả bóng đều có số chẵn). Khi đó, có 120 – 1 = 119 cách để chọn 3 quả bóng thoả mãn yêu cầu.

Bài tập áp dụng có lời giải về quy tắc đếm

Bài 1) Có 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách để chọn ra một ban cán sự gồm 3 học sinh, trong đó có 1 nam và 2 nữ?

Lời giải:

Có 5 cách để chọn học sinh nam, 4 cách để chọn học sinh nữ thứ nhất và 3 cách để chọn học sinh nữ thứ hai. Khi đó, có 5 . 4 . 3 = 60 cách để chọn ra một ban cán sự thoả mãn yêu cầu.

Bài 2) Có 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để tham gia một hoạt động, trong đó phải có ít nhất 1 học sinh nữ?

Lời giải:

Chọn 3 học sinh có ít nhất 1 học sinh nữ.

Có 4 cách chọn học sinh nữ thứ nhất, 5 cách chọn học sinh nam thứ hai và 4 cách chọn học sinh nam thứ ba. Do đó, có 4 x 5 x 4 = 80 cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

Có 4 cách chọn học sinh nữ thứ nhất, 4 cách chọn học sinh nữ thứ hai và 5 cách chọn học sinh nam thứ ba. Do đó, có 4 x 4 x 5 = 80 cách chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

Có 4 cách chọn học sinh nữ. Do đó, có 4 cách chọn 3 học sinh đều là nữ.

Tổng số cách chọn 3 học sinh có

Bài tập tự luyện về quy tắc đếm

  1. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham gia một hoạt động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trong đó có 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
  2. Có 5 bông hoa hồng khác nhau, 3 bông hoa cúc khác nhau và 2 bông hoa huệ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bông hoa để cắm vào bình, trong đó có 2 bông hoa hồng, 2 bông hoa cúc và 1 bông hoa huệ?
  3. Có 10 câu hỏi trắc nghiệm Toán, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 câu hỏi để làm bài thi, trong đó mỗi câu hỏi chỉ được chọn một phương án trả lời?
  4. Một đội bóng rổ có 12 cầu thủ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ để ra sân thi đấu?
  5. Một công ty có 10 nhân viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 nhân viên để đi công tác?
  6. Có 8 học sinh tham gia một cuộc thi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để trao giải nhất, nhì, ba?
  7. Có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh để tham gia một hoạt động, trong đó phải có ít nhất 2 học sinh nữ?
  8. Có 10 quyển sách khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 quyển sách để tặng cho 4 bạn học sinh, trong đó mỗi bạn nhận được 1 quyển sách và không ai được tặng hai quyển sách giống nhau?
  9. Một con súc sắc có 6 mặt. Gieo con súc sắc 3 lần. Hỏi có bao nhiêu cách xuất hiện 3 mặt ngửa khác nhau?
  10. Một hộp có 10 quả bóng màu đỏ, 9 quả bóng màu xanh, 8 quả bóng màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 quả bóng từ hộp, trong đó có 4 quả bóng màu đỏ, 3 quả bóng màu xanh và 3 quả bóng màu vàng?

Bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về quy tắc đếm lớp 11. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Hãy tiếp tục luyện tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.