Lý thuyết mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác

Mục tiêu của bài học này là giúp bạn nắm vững kiến thức về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bao gồm định nghĩa, định lý, hệ quả và ứng dụng. Qua đó, bạn sẽ có khả năng giải quyết các bài toán liên quan một cách logic, sáng tạo và hiệu quả

Định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Biểu thức:

\(\frac{a}{b} = \frac{sin∠C}{sin∠B}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{sin∠B}{sin∠A}\)

\(\frac{b}{c} = \frac{sin∠A}{sin∠C}\)

Ví dụ:

Giải thích:

AB > AC

Góc C > góc B (theo định lý)

Chứng minh định lý

Chứng minh định lý “góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”

Bước 1: Vẽ tam giác ABC với AB > AC.

Bước 2: Kẻ đường cao AH từ A xuống BC.

Bước 3: Ta có:

AB > AC

BH > CH (do AH là đường cao)

Bước 4: Xét hai tam giác AHB và AHC, ta có:

AH = AH (cạnh chung)

BH > CH (cmt)

AB > AC (gt)

Vậy góc B > góc C (theo định lý cạnh – góc – cạnh)

Chứng minh định lý “cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn”

Bước 1: Vẽ tam giác ABC với góc C > góc B.

Bước 2: Kẻ đường cao AH từ A xuống BC.

Bước 3: Ta có:

Góc C > góc B

AH > BH (do góc C > góc B)

Bước 4: Xét hai tam giác AHB và AHC, ta có:

AH = AH (cạnh chung)

AH > BH (cmt)

Góc B < góc C (gt)

Vậy AB > AC (theo định lý cạnh – góc – cạnh)

Hệ quả

Tam giác cân:

Hai góc ở đáy bằng nhau.

Hai cạnh bên bằng nhau.

Tam giác đều:

Ba góc bằng nhau (mỗi góc bằng 60°).

Ba cạnh bằng nhau.

Các dạng toán thường gặp 

Dạng 1: So sánh các góc trong một tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các cạnh đối diện với các góc cần so sánh.

Bước 2: Áp dụng định lý:

  • Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
  • Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. So sánh các góc của tam giác ABC.

Giải:

Bước 1: Xác định các cạnh đối diện với các góc cần so sánh.

AB đối diện với ∠C.

AC đối diện với ∠B.

BC đối diện với ∠A.

Bước 2: Áp dụng định lý.

AC > AB ⇒ ∠B > ∠C.

BC > AC ⇒ ∠A > ∠B.

Vậy ∠A > ∠B > ∠C.

Dạng 2: So sánh các cạnh trong một tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các góc đối diện với các cạnh cần so sánh.

Bước 2: Áp dụng định lý

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có ∠A = 80°, ∠B = 60°. So sánh các cạnh của tam giác ABC.

Giải:

Bước 1: Xác định các góc đối diện với các cạnh cần so sánh.

∠A đối diện với BC.

∠B đối diện với AC.

Bước 2: Áp dụng định lý.

∠A > ∠B ⇒ BC > AC.

Vậy BC > AC > AB.

Dạng 3: Chứng minh một tam giác là tam giác cân hoặc tam giác đều.

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh hai cạnh của tam giác bằng nhau (đối với tam giác cân) hoặc ba cạnh của tam giác bằng nhau (đối với tam giác đều).

Bước 2: Áp dụng hệ quả:

Tam giác cân: Hai góc ở đáy bằng nhau.

Tam giác đều: Ba góc bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh rằng ∠B = ∠C.

Giải:

Bước 1: Chứng minh hai cạnh AB và AC bằng nhau.

Ta có: AB = AC (theo đề bài).

Bước 2: Áp dụng hệ quả.

Vậy ∠B = ∠C (đpcm).

Bài tập có lời giải chi tiết bài Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác 

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Tính các góc của tam giác ABC.

Giải:

Bước 1: Vẽ hình tam giác ABC.
Bước 2: Áp dụng định lý cosin, ta có: \(BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos∠B\)

⇒ \(cos∠B = \frac{AB² + AC² – BC²}{2.AB.AC}\)

⇒ \(cos∠B = \frac{3² + 4² – 5²}{2.3.4}\)

⇒ \(cos∠B = \frac{-1}{4}\)

⇒ ∠B = 104°35′

Bước 3: Áp dụng định lý sin, ta có: \(\frac{AB}{sin∠B} = \frac{AC}{sin∠C}\)

⇒ \(sin∠C = AC.\frac{sin∠B}{AB}\)

⇒ \(sin∠C = 4.\frac{sin104°35′}{3}\)

⇒ \(sin∠C = \frac{4}{3}\)

⇒ ∠C = 48°25′

Bước 4: Ta có: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ ∠A = 180° – ∠B – ∠C

⇒ ∠A = 180° – 104°35′ – 48°25′

⇒ ∠A = 27°

Vậy ∠A = 27°, ∠B = 104°35′, ∠C = 48°25′.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ∠A = 80°, ∠B = 60°. So sánh các cạnh của tam giác ABC.

Giải:

Bước 1: Vẽ hình tam giác ABC.

Bước 2: Áp dụng định lý sin, ta có: \(\frac{AB}{sin∠B} = \frac{AC}{sin∠C}\)

⇒ \(\frac{AC}{sin∠C} = \frac{AB}{sin∠B}\)

⇒ \(\frac{AC}{sin(180° – ∠A)} = \frac{AB}{sin∠B}\)

⇒ \(\frac{AC}{sin∠A} = \frac{AB}{sin∠B}\)

⇒\( \frac{AC}{sin80°} = \frac{AB}{sin60°}\)

⇒ \(\frac{AC}{AB} = \frac{sin60°}{sin80°}\)

⇒ \(\frac{AC}{AB} = \frac{√3}{2}\)

⇒ \(AC = \frac{\sqrt{3}{2}}AB\)

Bước 3: So sánh các cạnh:

Ta có: \(AC = \frac{\sqrt{3}{2}}.AB > AB\)

Do đó: AC > AB > BC

Vậy AC > AB > BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh rằng ∠B = ∠C.

Giải:

Bước 1: Vẽ hình tam giác ABC.

Bước 2: Áp dụng định lý cosin, ta có: \(BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos∠B\)

⇒ \(cos∠B =\frac{AB² + AC² – BC²}{2.AB.AC}\)

Do AB = AC

Ta có: \(cos∠B = \frac{AB² + AB² – BC²}{2.AB.AB}\)

⇒ \(cos∠B = \frac{2.AB² – BC²}{2.AB²}\)

⇒ \(cos∠B = \frac{1 – BC²}{2.AB²}\)

Tương tự, ta có: \(ncos∠C = \frac{1 – BC²}{2.AC²}\)

Do AB = AC, ta có: \(cos∠B = cos∠C\)

Do đó: ∠B = ∠C

Vậy ∠B = ∠C.

Luyện tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Tính các góc của tam giác ABC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ∠A = 40°, ∠B = 60°. So sánh các cạnh của tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 8cm. Tính AC, biết ∠B = 80°.

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, ∠B = 60°. Tính BC.

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, ∠C = 70°. Tính BC.

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, ∠C = 40°. Tính BC.

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm. Tính AC, biết ∠C = 60°.

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm. Tính AC, biết ∠B = 50°.

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 8cm. Tính AC, biết ∠A = 70°.

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm. Tính BC, biết ∠A = 50°.

Như vậy, bài học đã cung cấp cho bạn kiến thức toàn diện về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bao gồm định nghĩa, định lý, hệ quả và ứng dụng. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và chính xác.