Phương trình tương đương: Lý thuyết và bài tập [Có giải chi tiết]

Phương trình tương đương là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu rõ về phương trình tương đương sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình tương đương, bao gồm định nghĩa, tính chất và phương pháp giải.

Định nghĩa phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Ký hiệu:

Ký hiệu “⇔” được dùng để biểu thị hai phương trình tương đương.

Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai về với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai về với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển về và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai về với biểu thức đó.

Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1 (x) thì phương trình f₁ (x) = g1 (2) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x) = g(x).

Ta viết

\(f(x) = g(x) f (x) = g1 (x). -g1\)

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai về, nhân hai về của phương trình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được.

Tính chất của phương trình tương đương

Tính chất bắc cầu

Nếu P ⇔ Q và Q ⇔ R thì P ⇔ R.

Tính chất đối xứng

Nếu P ⇔ Q thì Q ⇔ P.

Tính chất phản đề

Nếu P ⇔ Q thì ¬P ⇔ ¬Q.

Chuyển vế

Chuyển vế một phương trình không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.

Cộng, trừ hai vế

Cộng, trừ hai vế của hai phương trình tương đương ta được hai phương trình tương đương.

Nhân, chia hai vế

Nhân, chia hai vế của hai phương trình tương đương ta được hai phương trình tương đương (với điều kiện các vế không bằng 0).

Ví dụ 1: Chứng minh hai phương trình sau tương đương:

a) \(x^2 – 4x + 3 = 0\)

b) \((x – 1)(x – 3) = 0\)

Lời giải:

  • Ta có:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

⇔ \((x^2 – 4x + 4) – 1 = 0\)

⇔ \((x – 2)^2 – 1 = 0\)

⇔ (x – 2 – 1)(x – 2 + 1) = 0

⇔ (x – 3)(x – 1) = 0

Vậy hai phương trình đã cho tương đương.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

Lời giải:

  • Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x – 1)(x – 3) = 0

  • Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3.

Phương pháp giải phương trình tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương

  • Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình tương đương mà ta có thể giải được.
  • Các phép biến đổi tương đương bao gồm:
    • Chuyển vế
    • Cộng, trừ hai vế
    • Nhân, chia hai vế (với điều kiện các vế không bằng 0)

Phương pháp đưa về phương trình đã biết

Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình đã biết cách giải.

Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x – 1)(x – 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

√(x + 2) = 3

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

x + 2 = 9

Chuyển 2 sang vế trái, ta được:

x = 7

Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.

Bài tập có lời giải cho bài phương trình tương đương

Bài 1: Chứng minh hai phương trình sau tương đương:

  1. a) \(x^2 – 4x + 3 = 0\)
  2. b) \((x – 1)(x – 3) = 0\)

Lời giải:

Ta có:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

⇔ \((x^2 – 4x + 4) – 1 = 0\)

⇔ \((x – 2)^2 – 1 = 0\)

⇔ (x – 2 – 1)(x – 2 + 1) = 0

⇔ (x – 3)(x – 1) = 0

Vậy hai phương trình đã cho tương đương.

Bài 2: Giải phương trình:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x – 1)(x – 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3.

Bài 3: Giải phương trình:

√(x + 2) = 3

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

x + 2 = 9

Chuyển 2 sang vế trái, ta được:

x = 7

Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.

Bài 4: Giải phương trình:

1/(x – 1) = 2

Lời giải:

Nhân chéo hai vế của phương trình với x – 1, ta được:

1 = 2(x – 1)

Khai triển vế phải, ta được:

1 = 2x – 2

Chuyển 2 sang vế trái, ta được:

2x = 3

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

x = 3/2

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3/2.

Bài 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước của mảnh vườn.

Lời giải:

  • Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m) (x > 0).

  • Chiều dài của mảnh vườn là x + 5 (m).

  • Diện tích mảnh vườn ban đầu là: x(x + 5) (m^2).

  • Diện tích mảnh vườn sau khi thay đổi là: (x – 3)(x + 7) (m^2).

  • Ta có phương trình: x(x + 5) = (x – 3)(x + 7).

  • Khai triển hai vế của phương trình, ta được: \(x^2 + 5x = x^2 + 4x – 21\).

  • Chuyển vế, ta được: x = 21.

  • Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 21m, chiều dài là 26m.

Như vậy, bài viết đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình tương đương. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài tập liên quan đến phương trình tương đương một cách dễ dàng và chính xác.