Phương trình tích là một dạng phương trình đặc biệt được học trong chương trình Toán lớp 8. Dạng phương trình này có cấu tạo khá đơn giản, bao gồm hai vế được nối bằng dấu bằng, với mỗi vế là một tích của các biểu thức. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích định nghĩa, tính chất và phương pháp giải các dạng phương trình tích toán 8 thường gặp.
Định nghĩa
Phương trình tích là một dạng phương trình trong đó hai hoặc nhiều hạng tử (biểu thức chứa biến số) được nhân với nhau để tạo ra một sản phẩm bằng không. Cụ thể, phương trình tích có dạng tổng quát sau:
A(x) . B(x) = 0
với A(x) và B(x) là các biểu thức đại số.
Cách hiểu:
Phương trình tích là phương trình được biểu diễn dưới dạng tích của hai biểu thức đại số.
Hai biểu thức đại số A(x) và B(x) có thể là đa thức, phân thức, hay bất kỳ biểu thức đại số nào khác.
Giá trị x thỏa mãn phương trình tích là giá trị x làm cho một trong hai biểu thức A(x) hoặc B(x) bằng 0.
Ví dụ:
(x + 2)(x – 3) = 0 là một phương trình tích.
\((x^2 – 4)(x^2 + 1)\)= 0 cũng là một phương trình tích.
Lưu ý:
Phương trình tích có thể được giải bằng cách phân tích hai biểu thức A(x) và B(x) thành nhân tử.
Sau khi phân tích thành nhân tử, ta áp dụng tính chất: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Giải các phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 để tìm nghiệm của phương trình tích.
Tính chất
Tính chất cơ bản:
Tính chất 1: Nếu A(x) . B(x) = 0 thì A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Giải thích:
Khi A(x) . B(x) = 0, nghĩa là tích của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng 0.
Điều này chỉ xảy ra khi một trong hai biểu thức A(x) hoặc B(x) bằng 0.
Ví dụ:
Với phương trình (x + 2)(x – 3) = 0, ta có:
A(x) = x + 2
B(x) = x – 3
Khi (x + 2)(x – 3) = 0, ta có:
x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0
Vậy x = -2 hoặc x = 3
Tính chất 2: Ngược lại, nếu A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 thì A(x) . B(x) = 0.
Giải thích:
Khi A(x) = 0 hoặc B(x) = 0, nghĩa là một trong hai biểu thức A(x) hoặc B(x) bằng 0.
Khi đó, tích của hai biểu thức A(x) và B(x) cũng bằng 0.
Ví dụ:
Với phương trình (x + 2)(x – 3) = 0, ta có:
- A(x) = x + 2
- B(x) = x – 3
Khi x = -2, ta có A(-2) = 0 và B(-2) = -5.
Khi x = 3, ta có A(3) = 5 và B(3) = 0.
Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều có A(x) . B(x) = 0.
Tính chất mở rộng:
Nếu A(x) . B(x) . C(x) = 0 thì A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0.
Ngược lại, nếu A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0 thì A(x) . B(x) . C(x) = 0.
Phương pháp giải
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bước đầu tiên là phân tích đa thức A(x) và B(x) thành nhân tử.
Có thể sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như:
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Áp dụng tính chất: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta áp dụng tính chất: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Giải các phương trình: Giải các phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 để tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ:
Giải phương trình: (x + 2)(x – 3) = 0.
Giải:
Bước 1: Phân tích đa thức (x + 2)(x – 3) thành nhân tử:
(x + 2)(x – 3) = (x + 2) . (x – 3) = 0.
Bước 2: Áp dụng tính chất: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Ta có: x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0.
Bước 3: Giải các phương trình:
x + 2 = 0 ⇔ x = -2.
x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 3}.
Bài tập
Giải phương trình: (x + 2)(x – 3) = 0.
Giải:
Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bước 1: Phân tích đa thức (x + 2)(x – 3) thành nhân tử: (x + 2)(x – 3) = (x + 2) . (x – 3) = 0.
Bước 2: Áp dụng tính chất: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Ta có: x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0.
Bước 3: Giải các phương trình:
x + 2 = 0 ⇔ x = -2.
x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 3}.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt ẩn phụ: u = x + 2 và v = x – 3.
Giải hệ phương trình: u = 0
v = 0
Thay giá trị u và v vào phương trình ban đầu:
(x + 2)(x – 3) = 0
(u)(v) = 0
Giải hệ phương trình này, ta được x = -2 và x = 3.
Cách 3: Sử dụng đồ thị
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x + 2 và y = 0.
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là (-2, 0) và (3, 0).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 3}.
Tóm lại, phương trình tích là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và phương pháp giải các dạng phương trình tích sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan. Bài viết này hy vọng đã cung cấp cho các bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để học tốt chủ đề này.
