Phương trình đường tròn là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Chủ đề này giúp học sinh hiểu và vận dụng các kiến thức về đường tròn vào giải các bài toán thực tế.
Khái niệm đường tròn
- Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách điểm cố định O một khoảng bằng R (R > 0).
- Tâm I(a; b) của đường tròn là điểm O.
- Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ tâm I đến một điểm bất kỳ trên đường tròn.
Tính chất đường tròn
- Tâm I của đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\) là điểm (a, b).
- Bán kính R của đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\) là R.
- Đường tròn có phương trình \(x² + y² – 2ax – 2by + c = 0\) có tâm I(a; b) và bán kính \(R = √(a² + b² – c)\).
Phương trình đường tròn
Dạng tổng quát: \((x – a)² + (y – b)² = R²\)
Dạng tâm và bán kính: \(I(a; b), R: (x – a)² + (y – b)² = R²\)
Dạng hai điểm: \((x₁, y₁), (x₂, y₂): (x – x₁)(x – x₂) + (y – y₁)(y – y₂) = 0\)
Dạng ba điểm:
\((x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃): 4(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) + 4(y – y₁)(y – y₂)(y – y₃) = (x₁² + y₁² – x₂² – y₂²)(x₁² + y₁² – x₃² – y₃²)\)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\) tại điểm M(x0, y0) là: \((x – x0)(a – x0) + (y – y0)(b – y0) = R²\)
Vectơ pháp tuyến của đường tròn
Vectơ \(n = (2(a – x); 2(b – y))\) là vectơ pháp tuyến của đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R².\)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Dạng điểm và đường thẳng:
Cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\), phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M là: \((x – x₀)(x – a) + (y – y₀)(y – b) = 0\).
Dạng tham số:
Cho đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\), phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M(x₀; y₀) là: x = x₀ + t(a – x₀); y = y₀ + t(b – y₀)\) (t là tham số).
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường tròn
Cho điểm M(x₀; y₀) và đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\), khoảng cách từ M đến đường tròn được tính theo công thức: \(d = |(x₀ – a)² + (y₀ – b)² – R²| / √((a – x₀)² + (b – y₀)²)\).
Vị trí tương đối của điểm và đường tròn
Điểm M nằm trong đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² < R²\)
Điểm M nằm trên đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² = R²\)
Điểm M nằm ngoài đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² > R²\)
Các dạng toán về phương trình đường tròn
Tìm tâm và bán kính của đường tròn
- Cho phương trình đường tròn: \(x² + y² + 2ax + 2by + c = 0\)
- Áp dụng công thức:
- Tâm I(-a, -b)
- Bán kính \(R = √(a² + b² – c)\)
Viết phương trình đường tròn
Cho tâm I và bán kính R:
Phương trình: \((x – a)² + (y – b)² = R² (với tâm I(a, b))\)
Cho ba điểm trên đường tròn:
Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc phương pháp vectơ.
Xác định vị trí tương đối của điểm và đường tròn
- Cho điểm M(x₀, y₀) và đường tròn \((C): (x – a)² + (y – b)² = R²\)
- Điểm M nằm trên đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² = R²\)
- Điểm M nằm bên trong đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² < R²\)
- Điểm M nằm bên ngoài đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² > R²\)
Vẽ đường tròn
- Sử dụng phương trình tổng quát hoặc phương trình chính tắc.
- Xác định tâm và bán kính.
- Vẽ đồ thị.
Tính toán các yếu tố hình học liên quan đến đường tròn
Khoảng cách từ một điểm đến một đường tròn:
Sử dụng công thức: \(d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)\) (với điểm M(x₀, y₀) và đường tròn (C): \(Ax + By + C = 0)\)
Độ dài cung tròn:
\(L = s/360° . 2πR\) (với s là độ dài cung trên đường tròn có bán kính R và số đo góc ở tâm là 360°)
Diện tích hình quạt:
\(S = (s/360°) . πR²\) (với s là độ dài cung trên đường tròn có bán kính R và số đo góc ở tâm là 360°)
Luyện tập
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
Bài 1: Cho phương trình đường tròn: \(x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Bài 2: Cho điểm A(1; 2) và đường tròn (C): \(x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
Dạng 2: Viết phương trình đường tròn:
Bài 3: Viết phương trình đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = 5.
Bài 4: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(5; 6).
Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của điểm và đường tròn:
Bài 5: Cho điểm M(1; 2) và đường tròn (C): \(x² + y² – 4x + 8y + 5 = 0\). Xác định vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C).
Bài 6: Cho đường tròn (C): \(x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0\). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = 2R.
Dạng 4: Vẽ đường tròn:
Bài 7: Vẽ đường tròn (C): \(x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0\).
Bài 8: Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(5; 6).
Dạng 5: Tính toán các yếu tố hình học liên quan đến đường tròn:
Bài 9: Cho đường tròn (C): \(x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0\). Tính độ dài dây AB biết A và B là hai giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng y = 2x.
Bài 10: Cho đường tròn (C): \(x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0\). Tính diện tích hình quạt AOB biết A và B là hai giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng \(x + y – 5 = 0\), sđ cung AB = 120°.
Hy vọng qua bài viết này, các bạn đã hiểu rõ hơn về phương trình đường tròn và có thể vận dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tế.
“Chúc các bạn học tốt!”
