Tổng hợp kiến thức phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Nó bao gồm các phương pháp để biểu diễn đường thẳng bằng phương trình toán học, cũng như các ứng dụng của phương trình đường thẳng trong giải toán và thực tế.

Định nghĩa phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng là một phương trình có dạng:

\(ax + by + c = 0\)

trong đó:

  • a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0.
  • x, y là các ẩn số.

Phân loại phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng tổng quát: \(ax + by + c = 0\) (a, b không đồng thời bằng 0).

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm:

Cho điểm \(A(x0, y0)\), phương trình đường thẳng đi qua A có dạng:

  • \(y – y0 = m(x – x0)\) (m là hệ số góc)
  • \(x – x0 = k(y – y0)\) (k là hệ số tỉ lệ)

Phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương:

Cho vectơ u = (a, b), phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương u có dạng:

  • \(x = x0 + at\)
  • \(y = y0 + bt\)

Trong đó, (x0, y0) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và t là tham số.

Phương trình đường thẳng song song và vuông góc với một đường thẳng cho trước:

  • Hai đường thẳng song song có vectơ chỉ phương bằng nhau.
  • Hai đường thẳng vuông góc có tích vô hướng của vectơ chỉ phương bằng 0.

Phương trình đường thẳng

  • Dạng tổng quát: \(Ax + By + C = 0\) (A, B không đồng thời bằng 0)
  • Dạng tham số: \(x = x0 + at; y = y0 + bt\) (t là tham số)
  • Dạng hai điểm: \((x – x1)/(x2 – x1) = (y – y1)/(y2 – y1) (x1, y1), (x2, y2)\) là hai điểm phân biệt trên đường thẳng)
  • Dạng đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad (a, b > 0)\)

Vectơ chỉ phương

Vectơ \(\vec{v}\) = (a, b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) nếu và chỉ khi:

  • A, B là tọa độ của một điểm trên đường thẳng.
  • u cùng hướng với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) = (A, B) của đường thẳng.

Vectơ pháp tuyến

Vectơ \(\vec{n}\) = (A, B) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) nếu và chỉ khi:

  • A, B là hệ số của x và y trong phương trình tổng quát của đường thẳng.
  • \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Mối liên hệ giữa hệ số góc và vectơ chỉ phương

Nếu \(\vec{u}\) = (a, b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì hệ số góc k của đường thẳng được tính theo công thức: k = b/a.

Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: \(Ax + By + C1 = 0\) và d2: \(A’x + B’y + C2 = 0\), góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức: \(cosα = (AA’ + BB’) / (√(A² + B²)√(A’² + B’²))\).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng d: \(Ax + By + C = 0\), khoảng cách từ M đến d được tính theo công thức: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²).

Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng

  • Hai đường thẳng d1: \(Ax + By + C1 = 0\) và d2: \(A’x + B’y + C2 = 0\) song song với nhau khi và chỉ khi:
    • \(A/A’ = B/B’ = C/C’\).
  • Hai đường thẳng d1: \(Ax + By + C1 = 0\) và d2: \(A’x + B’y + C2 = 0\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
    • \(AA’ + BB’ = 0\).

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

  • Sử dụng phương trình tổng quát:
    • Cho hai đường thẳng d1: \(Ax + By + C1 = 0\) và d2: \(A’x + B’y + C2 = 0\).
    • Nếu \(A/A’ = B/B’\) = C/C’[/latex] thì d1 và d2 song song.
    • Nếu \(A/A’ ≠ B/B’\) hoặc \(A/A’ ≠ C/C’\) hoặc \(B/B’ ≠ C/C’\) thì d1 và d2 cắt nhau.
  • Sử dụng vectơ chỉ phương:
    • Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\)
    • Nếu \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) tỉ lệ thì d1 và d2 song song.
    • Nếu \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) không tỉ lệ thì d1 và d2 cắt nhau.
  • Sử dụng hệ số góc:
    • Cho hai đường thẳng d1 và d2 có hệ số góc lần lượt là k1 và k2.
    • Nếu k1 = k2 thì d1 và d2 song song.
    • Nếu k1 ≠ k2 thì d1 và d2 cắt nhau.

Phương trình đường thẳng là một công cụ hữu ích giúp giải quyết nhiều dạng toán liên quan đến đường thẳng. Việc nắm vững các dạng phương trình đường thẳng và cách thức chuyển đổi giữa các dạng phương trình là rất quan trọng để học tốt môn Toán lớp 10 và các môn học liên quan khác.