Chinh phục mọi dạng bài tập phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là một dạng phương trình đại số quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Việc giải và ứng dụng phương trình bậc nhất hai ẩn có vai trò thiết yếu trong việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hai đại lượng thay đổi.

Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần kiến thức nền rất quan trọng mà học sinh THPT cần phải nắm chắc từ lớp 10. Theo định nghĩa, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong các dạng sau đây: 

\(ax+by+c<0\)

\(ax+by+c>0\)

\(ax+by+c≤0\)

\(ax+by+c>0\)

Trong đó: a, b, c là số cho trước thỏa mãn điều kiện \(a² + b² ≠ 0\), x và y là các ẩn số.

Nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn được định nghĩa như sau:

Nếu có cặp số (xo; yo) thỏa mãn \(axo + byo + c < 0\), khi đó (x; yo) được gọi là 1 nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c<0\). Đối với các bất phương trình \(ax+by+c>0, ax+by+c≤0, ax+by+c>0\) định nghĩa nghiệm tương tự.

Phương pháp giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp thế

Bước 1: Biểu diễn một ẩn qua ẩn kia từ một trong hai phương trình.

Bước 2: Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại.

Bước 3: Giải phương trình một ẩn thu được.

Bước 4: Thay giá trị tìm được của ẩn vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của ẩn kia.

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

{2x + 3y = 7 {x – y = 1

Cách 1: Dùng phương pháp thế

  • Từ phương trình thứ hai, ta có: x = y + 1

  • Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: 2(y + 1) + 3y = 7

  • Giải phương trình, ta được: y = 1

  • Thay y = 1 vào phương trình thứ hai, ta được: x = 2

Phương pháp cộng đại số

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc và cộng đại số hai phương trình để hệ số của một ẩn bằng nhau.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn thu được.

Bước 3: Thay giá trị tìm được của ẩn vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của ẩn kia.

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

{2x + 3y = 7 {x – y = 1

Cách 2: Dùng phương pháp cộng đại số

  • Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được: 2x – 2y = 2

  • Cộng phương trình này với phương trình thứ nhất, ta được: 5y = 9

  • Giải phương trình, ta được: y = 1,8

  • Thay y = 1,8 vào phương trình thứ hai, ta được: x = 2,8

Phương pháp đưa về phương trình bậc hai

Bước 1: Biểu diễn một ẩn qua ẩn kia từ một trong hai phương trình.

Bước 2: Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 3: Giải phương trình bậc hai thu được.

Bước 4: Thay giá trị tìm được của ẩn vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của ẩn kia.

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

{2x + 3y = 7 {x – y = 1

Cách 3: Dùng phương pháp đưa về phương trình bậc hai

  • Từ phương trình thứ hai, ta có: x = y + 1

  • Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: 2(y + 1) + 3y = 7

  • Giải phương trình, ta được: y = 1 hoặc y = -2

  • Thay y = 1 và y = -2 vào phương trình thứ hai để tìm x tương ứng.

Bài tập có lời giải về phương trình bậc nhất hai ẩn 

Bài 1: Giải hệ phương trình:

{2x + 3y = 7 {x – y = 1

Lời giải:

Cách 1: Dùng phương pháp thế

  • Từ phương trình thứ hai, ta có: x = y + 1

  • Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: 2(y + 1) + 3y = 7

  • Giải phương trình, ta được: y = 1

  • Thay y = 1 vào phương trình thứ hai, ta được: x = 2

Cách 2: Dùng phương pháp cộng đại số

  • Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được: 2x – 2y = 2

  • Cộng phương trình này với phương trình thứ nhất, ta được: 5y = 9

  • Giải phương trình, ta được: y = 1,8

  • Thay y = 1,8 vào phương trình thứ hai, ta được: x = 2,8

Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

{d1: 2x + 3y = 7 {d2: x – y = 1

Lời giải:

Ta có: a1/a2 = 2/1 và b1/b2 = 3/-1 ≠ -a1/a2

=> Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Bài 3: Giải hệ phương trình:

{2x + y = 5 {3x – 2y = 1

Lời giải:

Cách 1: Dùng phương pháp thế

  • Từ phương trình thứ nhất, ta có: y = 5 – 2x

  • Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 3x – 2(5 – 2x) = 1

  • Giải phương trình, ta được: x = 2

  • Thay x = 2 vào phương trình thứ nhất, ta được: y = 1

Cách 2: Dùng phương pháp cộng đại số

  • Nhân phương trình thứ nhất với 2, ta được: 4x + 2y = 10

  • Cộng phương trình này với phương trình thứ hai, ta được: 7x = 11

  • Giải phương trình, ta được: x = 11/7

  • Thay x = 11/7 vào phương trình thứ nhất, ta được: y = 13/7

Bài 4: Tìm nghiệm chung của hai phương trình:

{2x + 3y = 7 {4x – y = 1

Lời giải:

  • Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai: y = 4x – 1

  • Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: 2x + 3(4x – 1) = 7

  • Giải phương trình, ta được: x = 1

  • Thay x = 1 vào phương trình thứ hai, ta được: y = 3

Bài 5: Giải bài toán bằng phương pháp lập phương trình:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 5m^2. Tính kích thước của mảnh vườn.

Lời giải:

  • Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > y)

  • Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

{x – y = 3 {(x + 2)(y – 1) = xy + 5

  • Giải hệ phương trình, ta được: x = 8 và y = 5

  • Vậy kích thước của mảnh vườn là 8m x 5m.

Luyện tập

Bài 1: Giải hệ phương trình:

{2x + 3y = 5

{x – y = 1

Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

{d1: 3x + 2y = 6

{d2: x – 2y = 1

Bài 3: Giải hệ phương trình:

{4x + y = 7

{2x – 3y = 1

Bài 4: Tìm nghiệm chung của hai phương trình:

{3x – 2y = 4

{2x + y = 5

Bài 5: Giải bài toán bằng phương pháp lập phương trình:

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sau 2 giờ, một ô tô khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đuổi kịp xe thứ nhất tại C. Tính thời gian xe thứ hai đi từ A đến C.

Bài viết đã trình bày một cách chi tiết về phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng những kiến thức và kỹ năng được cung cấp trong bài viết sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến dạng phương trình này.