Phương pháp quy nạp toán học – Các dạng bài tập và lời giải chi tiế

Trong thế giới toán học đầy ắp những con số và phép toán, phương pháp quy nạp toán học nổi lên giúp chinh phục những bài toán tưởng chừng như hóc búa. Phương pháp này, tuy đơn giản nhưng đầy hiệu quả, là chìa khóa mở ra cánh cửa tri thức, giúp học sinh lớp 11 giải quyết các bài toán liên quan đến số tự nhiên một cách logic và chặt chẽ.

Phương pháp quy nạp toán học là gì?

Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề cho mọi số tự nhiên từ n trở lên (với n là số tự nhiên cho trước). Phương pháp này dựa trên hai bước chính:

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1 (bước cơ sở).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k là một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 1), chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 (bước quy nạp).

Cách thực hiện:

  • Bước 1: Chứng minh trực tiếp mệnh đề đúng với n = 1.
  • Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là ta có kết quả mong muốn cho n = k.
  • Sử dụng giả thiết quy nạp: Dựa vào kết quả đã chứng minh được ở bước 1 và giả thiết quy nạp (mệnh đề đúng với n = k), ta cần suy ra kết quả tương tự cho n = k + 1.
  • Chứng minh: Sử dụng các phép toán logic, biến đổi, suy luận để từ kết quả và giả thiết, dẫn đến kết quả mong muốn cho n = k + 1.

Lưu ý:

  • Phương pháp quy nạp toán học chỉ áp dụng cho các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên.
  • Cần đảm bảo hai bước của phương pháp được thực hiện chặt chẽ, logic và không có sai sót.
  • Việc sử dụng giả thiết quy nạp cần được thực hiện một cách hợp lý và hiệu quả.

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Giải:

  • Bước 1: Với n = 1, ta có 1 = 1(1 + 1)/2, mệnh đề đúng.
  • Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2. Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Ta có:

1 + 2 + … + k + (k + 1)

= 1 + 2 + … + k + k + 1

= \(k(k + 1)/2 + k + 1\)

= \((k^2 + k + 2k + 2)/2\)

= \((k + 1)(k + 2)/2\)

Vậy, mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề

Chọn mệnh đề cần chứng minh

Hãy chọn một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên mà bạn muốn chứng minh. Ví dụ:

Mệnh đề: Với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Thực hiện các bước

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1:

Với n = 1, ta có 1 = 1(1 + 1)/2, mệnh đề đúng.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k:

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2.

Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1:

Ta cần chứng minh 1 + 2 + … + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2.

Sử dụng giả thiết quy nạp

Từ kết quả đã chứng minh ở bước 1 và giả thiết quy nạp, ta có:

1 + 2 + … + k + (k + 1)

= 1 + 2 + … + k + k + 1

= k(k + 1)/2 + k + 1

= \((k^2 + k + 2k + 2)/2\)

= (k + 1)(k + 2)/2

Các dạng bài tập áp dụng phương pháp quy nạp toán học

Dạng bài chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức

  • Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
    • 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
    • \(n^2 – n + 1\) chia hết cho 3
    • \(2^n > n^2\)

Dạng bài toán chia hết

  • Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
    • \(n(n + 1)(2n + 1)\) chia hết cho 6
    • \(11^n – 1\) chia hết cho 10

Dạng bài toán so sánh

  • Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có:
    • \(n^2 + 2n + 1 < (n + 1)^3\)
    • \(1/n^2 + 1/(n + 1)^2 > 1/n\)

Dạng bài toán tìm số hạng tổng quát

  • Ví dụ: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi:
    • u_1 = 1
    • \(u_n+1 = u_n + n^2\) với mọi n ≥ 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Dạng bài toán chứng minh tính chất

  • Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có:
    • n số tự nhiên liên tiếp bất kỳ đều có một ước số chung lớn hơn 1.
    • Tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n.

Bài tập có lời giải chi tiết cho phương pháp quy nạp toán học lớp 11

Bài 1:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Giải:

Bước 1: Với n = 1, ta có 1 = 1(1 + 1)/2, mệnh đề đúng.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2. Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Ta có:

1 + 2 + … + k + (k + 1)

= 1 + 2 + … + k + k + 1

= k(k + 1)/2 + k + 1

= \((k^2 + k + 2k + 2)/2\)

= \((k + 1)(k + 2)/2\)

Vậy, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta đã chứng minh được mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2”.

Bài 2:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có \(n^2 – n + 1\) chia hết cho 3.

Giải:

Bước 1: Với n = 2, ta có 2^2 – 2 + 1 = 3 chia hết cho 3, mệnh đề đúng.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là k^2 – k + 1 chia hết cho 3. Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Ta có:

\((k + 1)^2 – (k + 1) + 1\)

= \(k^2 + 2k + 1 – k – 1 + 1\)

= \(k^2 – k + 1 + 2k\)

Vì \(k^2 – k + 1\) chia hết cho 3 (theo giả thiết quy nạp) và 2k chia hết cho 3 nên \((k + 1)^2 – (k + 1) + 1\) chia hết cho 3.

Vậy, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta đã chứng minh được mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có n^2 – n + 1 chia hết cho 3”.

Bài 3:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta có \(2^n > n^2\)

Giải:

Bước 1: Với n = 3, ta có 2^3 = 8 > 3^2 = 9, mệnh đề đúng.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là \(2^k > k^2\). Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Ta có:

\(2^(k + 1) = 2^k . 2\)

Vì 10 0(theo giả thiết quy nạp) và 2 > 1 nên \(2^(k + 1) > k^2 . 2 > k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2\).

Vậy, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta đã chứng minh được mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta có \(2^n > n^2\)“.

Bài tập tự luyện

Bài 1:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2.

Bài  2:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có \(n! > 2^n\)

Bài  3:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n ≥ n/a_1a_2…a_n, với a_1, a_2, …, a_n là các số dương.

Phương pháp quy nạp toán học là một công cụ học tập vô giá, giúp học sinh chinh phục những đỉnh cao mới trong môn toán. Nắm vững phương pháp này, học sinh sẽ có thể giải quyết các bài toán một cách logic, hiệu quả và đầy sáng tạo.