Phép vị tự: Định nghĩa, các dạng & bài tập

Trong chương trình Toán 11, phép vị tự đóng vai trò quan trọng và là nền tảng cho nhiều chủ đề khác. Hiểu rõ về phép vị tự sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Bài viết này sẽ giới thiệu về phép vị tự lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng phép vị tự và ứng dụng của phép vị tự.

Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

  • OM’ = k.OM (k là tỉ số vị tự)
  • vectơ OM′ cùng hướng với vectơ OM (nếu k > 0) hoặc ngược hướng với vectơ OM (nếu k < 0)

Tính chất phép vị tự

Biến đường thẳng thành đường thẳng:

  • Nếu đường thẳng qua tâm vị tự, nó biến thành chính nó.
  • Nếu đường thẳng không qua tâm vị tự, nó biến thành đường thẳng song song với nó.

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng:

  • Đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.
  • Hai điểm M, N bất kỳ trên đường thẳng thì M’N’ = |k|.MN

Biến tam giác thành tam giác đồng dạng:

Tam giác biến thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số đồng dạng |k|.

Biến góc thành góc bằng nó:

Góc biến thành góc bằng nó.

Hệ quả

  • Phép vị tự tâm O tỉ số k biến điểm O thành chính nó.
  • Phép vị tự tâm O tỉ số k = 1 là phép đồng nhất.
  • Phép vị tự tâm O tỉ số k = -1 là phép đối xứng tâm O.

Công thức phép vị tự

công thức phép vị tự

Các dạng bài tập về phép vị tự và phương pháp giải

Xác định ảnh của điểm, đường thẳng, hình phẳng qua phép vị tự

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Xác định tâm vị tự O và tỉ số vị tự k.
  • Bước 2: Áp dụng tính chất của phép vị tự để xác định ảnh của điểm, đường thẳng, hình phẳng.

Ví dụ:

Cho phép vị tự tâm O tỉ số k = 2. Xác định ảnh của điểm M qua phép vị tự.

Giải:

  • Bước 1: O là tâm vị tự, k = 2.
  • Bước 2:
  • Ảnh M’ của điểm M qua phép vị tự là điểm sao cho OM’ = 2.OM.
  • Vẽ tia OM và lấy điểm M’ trên tia OM sao cho OM’ = 2.OM.

Chứng minh hai hình bằng nhau bằng phép vị tự

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Chứng minh hai hình có cùng số đo các cạnh tương ứng.
  • Bước 2: Chứng minh hai hình có cùng các góc tương ứng.
  • Bước 3: Chứng minh hai hình có cùng tỉ số đồng dạng.

Ví dụ:

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau bằng phép vị tự.

Giải:

  • Bước 1: AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ => ∆ABC ~ ∆A’B’C’.
  • Bước 2: Góc A = Góc A’ (g.g).
  • Bước 3: ∆ABC ~ ∆A’B’C’ (g.c.g) => hai hình có cùng tỉ số đồng dạng.

Tìm tâm vị tự, tỉ số vị tự

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Sử dụng tính chất của phép vị tự để tìm tâm vị tự O và tỉ số vị tự k.
  • Bước 2: Kiểm tra lại kết quả.

Ví dụ:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có tâm O và O’ cách nhau là d. Biết rằng đường tròn (O’; R’) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự.

Giải:

  • Bước 1:
  • O và O’ là hai điểm cố định của phép vị tự.
  • Do (O’; R’) là ảnh của (O; R) qua phép vị tự => tâm vị tự O nằm trên đường nối tâm OO’.
  • Gọi k là tỉ số vị tự. Ta có: OO’ = k.R => k = d/R.
  • Bước 2: Kiểm tra lại kết quả:
  • Phép vị tự tâm O tỉ số k = d/R biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).
  • Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có cùng tâm O và O’ cách nhau là d.

Bài tập phép vị tự có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau bằng phép vị tự.

Giải:

Bước 1: AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ => ∆ABC ~ ∆A’B’C’.

Bước 2: Góc A = Góc A’ (g.g).

Bước 3: ∆ABC ~ ∆A’B’C’ (g.c.g) => hai hình có cùng tỉ số đồng dạng.

Kết luận: Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau bằng phép vị tự tâm O (giao điểm của hai đường phân giác trong của hai tam giác) với tỉ số vị tự k = 1.

Bài tập 2

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có tâm O và O’ cách nhau là d. Biết rằng đường tròn (O’; R’) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự.

Giải:

Bước 1:

  • O và O’ là hai điểm cố định của phép vị tự.
  • Do (O’; R’) là ảnh của (O; R) qua phép vị tự => tâm vị tự O nằm trên đường nối tâm OO’.
  • Gọi k là tỉ số vị tự. Ta có: OO’ = k.R => k = d/R.

Bước 2: Kiểm tra lại kết quả:

  • Phép vị tự tâm O tỉ số k = d/R biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).
  • Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có cùng tâm O và O’ cách nhau là d.

Kết luận:

  • Tâm vị tự O là giao điểm của hai đường tròn (O; R) và (O’; R’).
  • Tỉ số vị tự k = d/R.

Luyện tập

  1. Cho phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. Xác định ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự.
  2. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = 2A’B’, AC = 3A’C’, BC = 4B’C’. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau bằng phép vị tự.
  3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có tâm O và O’ cách nhau là d. Biết rằng đường tròn (O’; R’) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự.
  4. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của hình vuông ABCD qua phép vị tự tâm M tỉ số k = 2.

Phép vị tự là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép vị tự lớp 11.