Phép tịnh tiến – Khái niệm, tính chất và ứng dụng

Phép tịnh tiến là một phép biến hình quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều chủ đề khác như: vectơ, hệ tọa độ, giải tích,… Phép tịnh tiến được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, kỹ thuật, kiến trúc,… Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép tịnh tiến.

Định nghĩa phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ v (ký hiệu là Tv) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ = v.

Công thức phép tịnh tiến

Công thức phép tịnh tiến

Tính chất của phép tịnh tiến

tính chất phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến ngược

Phép tịnh tiến theo vectơ -v (ký hiệu là T_{-v}) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’M = v. Phép tịnh tiến ngược là phép biến hình nghịch đảo của phép tịnh tiến.

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Cho điểm M có tọa độ (x, y) và vectơ v = (a, b). Ảnh M’ của điểm M qua phép tịnh tiến Tv có tọa độ là:

  • x’ = x + a
  • y’ = y + b

Hệ quả của phép tịnh tiến

  • Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó:
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó:
  • Biến góc thành góc bằng nó
  • Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
  • Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
  • Phép tịnh tiến biến tia thành tia.
  • Phép tịnh tiến biến vectơ thành vectơ bằng nó.
  • Phép tịnh tiến biến tập hợp thành tập hợp bằng nó.

Ví dụ:

  • Chứng minh hai tam giác bằng nhau:

Sử dụng phép tịnh tiến để di chuyển một tam giác về vị trí trùng với tam giác còn lại.

  • Tính độ dài đoạn thẳng:

Sử dụng phép tịnh tiến để di chuyển một điểm đến vị trí thuận lợi để tính độ dài đoạn thẳng.

Những dạng bài tập về phép tịnh tiến lớp 11

Dạng 1: Cho điểm M và vectơ v. Dựng ảnh M’ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Phương pháp giải:

  • Dựng điểm A sao cho MA = v.
  • Dựng đường thẳng qua A song song với vectơ v.
  • Điểm M’ là giao điểm của đường thẳng qua A song song với vectơ v và đường thẳng đi qua M và vuông góc với vectơ v.

Ví dụ:

Cho điểm M(1, 2) và vectơ v = (3, 4). Dựng ảnh M’ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Giải:

  • Dựng điểm A(4, 6) sao cho MA = v.
  • Dựng đường thẳng qua A song song với vectơ v.
  • Điểm M’ là giao điểm của đường thẳng qua A song song với vectơ v và đường thẳng đi qua M và vuông góc với vectơ v.

Bài tập: Cho điểm M(1, 2) và vectơ v = (3, 4). Dựng ảnh M’ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Lời giải:

  • Dựng điểm A(4, 6) sao cho MA = v.
  • Dựng đường thẳng qua A song song với vectơ v.
  • Điểm M’ là giao điểm của đường thẳng qua A song song với vectơ v và đường thẳng đi qua M và vuông góc với vectơ v.

Dạng 2: Cho hai điểm M và N. Dựng đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho điểm M biến thành điểm N.

Phương pháp giải:

  • Dựng điểm A sao cho MA = v.
  • Dựng đường thẳng qua A song song với đường thẳng d.
  • Đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Ví dụ:

Cho hai điểm M(1, 2) và N(4, 5). Dựng đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho điểm M biến thành điểm N.

Giải:

  • Dựng điểm A(4, 6) sao cho MA = v.
  • Dựng đường thẳng qua A song song với đường thẳng d.
  • Đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Dạng 3: Cho hình phẳng H. Dựng ảnh H’ của hình phẳng H qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Phương pháp giải:

  • Dựng ảnh của tất cả các điểm của hình phẳng H qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
  • Nối các điểm tương ứng để tạo ra hình phẳng H’.

Ví dụ:

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 cm. Dựng ảnh H’ của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3, 4).

Giải:

  • Dựng ảnh A’, B’, C’, D’ của các điểm A, B, C, D qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
  • Nối A’B’, B’C’, C’D’, D’A’ để tạo ra hình vuông A’B’C’D’.

Dạng 4: Cho hai hình phẳng H và H’. Chứng minh hai hình phẳng H và H’ bằng nhau bằng phép tịnh tiến.

Phương pháp giải:

  • Tìm vectơ v sao cho phép tịnh tiến theo vectơ v biến hình phẳng H thành hình phẳng H’.
  • Chứng minh vectơ v tồn tại.

Ví dụ:

Cho hai tam giác ABC và DEF. Chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng nhau bằng phép tịnh tiến.

Giải:

  • Gọi I là trung điểm của BC.
  • Gọi J là điểm sao cho EJ = IF.
  • Vectơ v = IJ.
  • Phép tịnh tiến theo vectơ v biến tam giác ABC thành tam giác DEF.

Dạng 5: Ứng dụng phép tịnh tiến để giải bài toán hình học.

Phương pháp giải:

  • Sử dụng phép tịnh tiến để di chuyển các hình trong mặt phẳng để tạo ra vị trí thuận lợi cho việc giải bài toán.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. N là điểm trên cạnh AB sao cho AN = 2NB. Chứng minh rằng MN // AC.

Giải:

  • Dựng điểm D sao cho MD = MA.
  • Phép tịnh tiến theo vectơ MD biến N thành N’.
  • Tứ giác MN’DC là hình bình hành.
  • Do đó MN // AC.

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép tịnh chuyển. Phép tịnh tiến là một phép biến hình đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức về phép tịnh tiến giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.