Phép đối xứng tâm là gì? Tính chất và ứng dụng

Phép đối xứng tâm là một phép biến hình quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều chủ đề khác như: vectơ, hệ tọa độ, geometria giải tích,… Phép đối xứng tâm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, kỹ thuật, kiến trúc,… Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép đối xứng tâm.

Khái niệm phép đối xứng tâm

Cho điểm O. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm O.

Ký hiệu: Phép đối xứng tâm O được kí hiệu là ĐO.

Tính chất phép đối xứng tâm

  1. Bảo toàn khoảng cách: ĐO(M)M’ = MM’.
  2. Biến đường thẳng thành đường thẳng:

ĐO(d) // d hoặc ĐO(d) ≡ d.

  1. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó: \(ĐO(AB) = A’B’ và AB = A’B’\)
  2. Biến tam giác thành tam giác bằng nó: \(ĐO(ΔABC) = ΔA’B’C’ và ΔABC = ΔA’B’C’\).
  3. Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó: \(ĐO(C) = C’ và C = C’\).
  4. Biến vectơ thành vectơ đối: \(ĐO(→v) = −→v\).

Công thức phép đối xứng tâm

Trong hệ tọa độ Oxy

Cho điểm I(a; b) và M(x; y), ảnh của M qua phép đối xứng tâm I là điểm M'(x’; y’) được xác định bởi công thức:

  • \(x’ = 2a – x\)
  • \(y’ = 2b – y\)

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O

  • \(x’ = -x\)
  • \(y’ = -y\)

Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm bất kỳ

Tâm đối xứng một mình

Khái niệm

Tâm đối xứng của một hình là điểm O sao cho khi quay hình đó một góc 180° quanh điểm O, ta thu được hình trùng khít với chính nó.

Ví dụ:

  • Hình tròn có một tâm đối xứng là tâm của đường tròn.
  • Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi có hai tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
  • Tam giác đều có ba tâm đối xứng là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Phương pháp tìm tâm đối xứng một mình

Nếu một hình có tâm đối xứng O, thì với bất kỳ điểm M trên hình, điểm M’ đối xứng với M qua O cũng nằm trên hình.

Do đó, để tìm tâm đối xứng O của một hình, ta có thể thực hiện các bước sau:

  • Chọn hai điểm bất kỳ A và B trên hình.
  • Vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm M của AB.
  • Tìm điểm O trên đường thẳng d sao cho O là trung điểm của M’ (điểm đối xứng với M qua d).
  • O là tâm đối xứng của hình.

Một số dạng bài tập cơ bản về phép đối xứng tâm

Dạng 1: Xác định ảnh của điểm qua phép đối xứng tâm

  • Cho điểm O và điểm M, hãy xác định ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O.
  • Cho điểm I và điểm M, hãy xác định ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I.

Dạng 2: Chứng minh một điểm là ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm

  • Cho điểm M và M’, cho biết M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O. Hãy chứng minh điểm O là trung điểm của MM’.
  • Cho điểm M và M’, cho biết M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Hãy chứng minh điểm I là trung điểm của MM’.

Dạng 3: Xác định tâm đối xứng của hình

  • Cho hình A, hãy xác định tâm đối xứng của hình A (nếu có).
  • Cho hình B, hãy xác định tất cả các tâm đối xứng của hình B (nếu có).

Dạng 4: Vẽ ảnh của hình qua phép đối xứng tâm

  • Cho hình C, hãy vẽ ảnh của hình C qua phép đối xứng tâm O.
  • Cho hình D, hãy vẽ ảnh của hình D qua phép đối xứng tâm I.

Dạng 5: Ứng dụng phép đối xứng tâm

  • Cho một vật thể, hãy sử dụng phép đối xứng tâm để tạo ra một vật thể mới.
  • Cho một bức tranh, hãy sử dụng phép đối xứng tâm để tạo ra một bức tranh mới.

Ví dụ:

Dạng 1: Cho điểm O và điểm M(3; 4). Hãy xác định ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O.

Giải:

Ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O là điểm M'(x’; y’) được xác định bởi công thức:

  • x’ = -x = -3
  • y’ = -y = -4

Vậy ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O là điểm M'(-3; -4).

Dạng 2: Cho điểm M(1; 2) và M'(3; 4), cho biết M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O. Hãy chứng minh điểm O là trung điểm của MM’.

Giải:

Vì M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O nên O là trung điểm của MM’.

Ta có:

  • \(OM = √((3 – 1)^2 + (4 – 2)^2) = √(4 + 4) = 2√2\)
  • \(OM’ = √((3 – 1)^2 + (4 – 2)^2) = √(4 + 4) = 2√2\)

Do đó, OM = OM’ và O là trung điểm của MM’.

Dạng 3: Cho hình vuông ABCD. Hãy xác định tâm đối xứng của hình vuông ABCD.

Giải:

Hình vuông ABCD có hai trục đối xứng là AC và BD. Giao điểm của hai trục đối xứng này là điểm O. Do đó, điểm O là tâm đối xứng của hình vuông ABCD.

Dạng 4: Cho tam giác ABC, hãy vẽ ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.

Giải:

Ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O là tam giác A’B’C’ với:

  • A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O.
  • B’ là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O.
  • C’ là ảnh của C qua phép đối xứng tâm O.

Dạng 5: Cho một bông hoa, hãy sử dụng phép đối xứng tâm để tạo ra một bông hoa mới.

Giải:

  • Vẽ trục đối xứng của bông hoa.
  • Chọn một điểm O trên trục đối xứng.
  • Đối xứng từng cánh hoa qua điểm O.

Bông hoa mới được tạo ra sẽ có hình ảnh đối xứng với bông hoa ban đầu qua trục đối xứng.

Phép đối xứng tâm là một phép biến hình quan trọng trong toán học. Phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hy vọng những dạng bài tập cơ bản về phép đối xứng tâm này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phép đối xứng tâm và ứng dụng của nó.

Bài tập về phép đối xứng tâm có lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 4 cm. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2 cm. Gọi N là điểm đối xứng với M qua tâm I của hình vuông ABCD.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Tính chu vi và diện tích của tứ giác AMCN.

Giải:

a) Chứng minh:

  • I là trung điểm của AC và BD (tính chất hình vuông).
  • M thuộc BC và BM = 2 cm (theo đề bài).
  • N đối xứng với M qua I => I là trung điểm của MN (tính chất phép đối xứng tâm).

Ta có:

  • AI = CI (tính chất hình vuông).
  • IM = IN (I là trung điểm của MN).

Do đó, tứ giác AMCN có hai đường chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường => Tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Tính toán:

  • Chu vi tứ giác AMCN:

Chu vi = AM + MC + CN + NA = AB + AB + BC + BC = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 (cm).

  • Diện tích tứ giác AMCN:

Diện tích = AC x MN = AB x AB = 4 x 4 = 16 (cm²).

Bài tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Gọi I là tâm đối xứng của tam giác ABC. Gọi M là điểm đối xứng với B qua I.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABMC là hình thoi.

b) Tính chu vi và diện tích của tứ giác ABMC.

Giải:

a) Chứng minh:

  • I là tâm đối xứng của tam giác ABC => IA = IB = IC.
  • M đối xứng với B qua I => I là trung điểm của BM.

Ta có:

  • AM = CM (I là trung điểm của BM).
  • AI = BI (tính chất phép đối xứng tâm).

Do đó, tứ giác ABMC có hai đường chéo AC và BM cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường và AM = CM => Tứ giác ABMC là hình thoi.

b) Tính toán:

  • Chu vi tứ giác ABMC:

Chu vi = AB + BM + MC + CA = AB + BC + AC + AB = 3 + 5 + 4 + 3 = 15 (cm).

  • Diện tích tứ giác ABMC:

Diện tích = 1/2 x AC x BM = 1/2 x 4 x 5 = 10 (cm²).

Luyện tập phép đối xứng tâm

Bài 1: Cho hai điểm M và N. Dựng đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm qua MN.

Bài 2. Cho hình phẳng H. Dựng ảnh H’ của hình phẳng H qua phép đối xứng tâm qua điểm O.

Bài 3. Cho hai hình phẳng H và H’. Chứng minh hai hình phẳng H và H’ bằng nhau bằng phép đối xứng tâm.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm trên cạnh AB và F là điểm trên cạnh BC sao cho BE = BF. Gọi O là tâm đối xứng của hình vuông. Chứng minh rằng DE // CF.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. N là điểm đối xứng với A qua M. Chứng minh rằng tứ giác BNCA là hình bình hành.

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép đối xứng tâm. Việc nắm vững kiến thức về phép đối xứng tâm giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.