Lý thuyết phép dời hình: Định nghĩa, các dạng & bài tập

Phép dời hình là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Hiểu rõ về phép dời hình sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về phép dời hình, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng phép dời hình và bài tập minh họa.

Khái niệm phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Các phép biến hình sau đây là phép dời hình:

Phép tịnh tiến: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ = |v| và vectơ MM’ cùng hướng với vectơ v.

Phép quay: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

  • OM = OM’
  • Góc (OM, OM’) = α

Phép đối xứng tâm: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và O là trung điểm của MM’.

Phép đối xứng trục: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ vuông góc với trục d và M’ đối xứng với M qua trục d.

Tính chất của phép dời hình

  • Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Phép dời hình biến góc thành góc bằng nó.
  • Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Khái niệm về hai hình bằng nhau

Định nghĩa

  • Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
  • Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Ví dụ

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ và ∠A = ∠A’. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Lời giải:

  • Cách 1:

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

  • AB = A’B’ (theo giả thiết)
  • AC = A’C’ (theo giả thiết)
  • ∠A = ∠A’ (theo giả thiết)

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.g.c)

Cách 2:

  • Dựng đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
  • Dựng đường trung tuyến A’M’ của tam giác A’B’C’.

Ta có:

  • AM = A’M’ (vì BC = B’C’ và AM = BM = 1/2 BC, A’M’ = B’M’ = 1/2 B’C’)
  • ∠BAM = ∠B’A’M’ (vì ∠A = ∠A’)

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’, ta có:

  • AB = A’B’ (theo giả thiết)
  • AM = A’M’ (chứng minh trên)
  • ∠BAM = ∠B’A’M’ (chứng minh trên)

Vậy tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’ (c.g.c)

Do tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’, nên:

  • BM = B’M’

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

  • AB = A’B’ (theo giả thiết)
  • BC = B’C’ (theo giả thiết)
  • BM = B’M’ (chứng minh trên)

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.c.c)

Các phép dời hình lớp 11

Phép đồng nhất

  • Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
  • Tính chất:
    • Biến mọi điểm thành chính nó.
    • Biến mọi đường thẳng thành chính nó.
    • Biến mọi hình phẳng thành chính nó.
  • Hệ quả:
    • Phép đồng nhất là phép dời hình đơn giản nhất.
    • Phép đồng nhất là phép dời hình duy nhất biến mọi điểm thành chính nó.

Phép tịnh tiến

  • Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho vecto MM′ có giá cố định được gọi là phép tịnh tiến.
  • Tính chất:
    • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
    • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
    • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
    • Biến góc thành góc bằng nó.
    • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
  • Hệ quả:
    • Phép tịnh tiến được xác định bởi vecto tịnh tiến.
    • Hai phép tịnh tiến có cùng vecto tịnh tiến thì bằng nhau.
    • Phép tịnh tiến là phép dời hình.

Phép đối xứng tâm

  • Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm qua điểm I.
  • Tính chất:
    • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
    • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
    • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
    • Biến góc thành góc bằng nó.
    • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
  • Hệ quả:
    • Phép đối xứng tâm được xác định bởi điểm đối xứng.
    • Hai phép đối xứng tâm có cùng điểm đối xứng thì bằng nhau.
    • Phép đối xứng tâm là phép dời hình.

Phép đối xứng trục

  • Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’ được gọi là phép đối xứng trục qua đường thẳng d.
  • Tính chất:
    • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
    • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
    • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
    • Biến góc thành góc bằng nó.
    • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
  • Hệ quả:
    • Phép đối xứng trục được xác định bởi đường đối xứng.
    • Hai phép đối xứng trục có cùng đường đối xứng thì bằng nhau.
    • Phép đối xứng trục là phép dời hình.

Phép quay

  • Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và ∠MOM′=α được gọi là phép quay tâm O góc α.
  • Tính chất:
    • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
    • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
    • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
    • Biến góc thành góc bằng nó.
    • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
  • Hệ quả:
    • Phép quay được xác định bởi tâm quay và góc quay.
    • Hai phép quay có cùng tâm quay và cùng góc quay thì bằng nhau.
    • Phép quay là phép dời hình.

Bài tập về phép dời hình có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và điểm E nằm trên cạnh BC sao cho BE = EC. Gọi F là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh rằng phép đối xứng tâm O (là giao điểm của hai đường chéo AC và BD) biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Lời giải:

(1) Ta có:

  • O là trung điểm của AC và BD.

(2) Do đó:

  • Phép đối xứng tâm O biến điểm A thành điểm A’ sao cho OA = OA’.
  • Phép đối xứng tâm O biến điểm B thành điểm B’ sao cho OB = OB’.
  • Phép đối xứng tâm O biến điểm C thành điểm C’ sao cho OC = OC’.
  • Phép đối xứng tâm O biến điểm D thành điểm D’ sao cho OD = OD’.

(3) Ta có:

  • AB = A’B’ (vì OA = OA’ và OB = OB’)
  • BC = B’C’ (vì OB = OB’ và OC = OC’)
  • CD = C’D’ (vì OC = OC’ và OD = OD’)
  • DA = D’A’ (vì OA = OA’ và OD = OD’)

(4) Do đó, ABCD là hình vuông.

(5) Vậy phép đối xứng tâm O biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Bài 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Lời giải:

  • Cách 1:

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

  • AB = A’B’ (theo giả thiết)
  • AC = A’C’ (theo giả thiết)
  • ∠A = ∠A’ (vì hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng số đo các cạnh tương ứng)

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.g.c)

Cách 2:

  • Dựng đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
  • Dựng đường trung tuyến A’M’ của tam giác A’B’C’.

Ta có:

  • AM = A’M’ (vì BC = B’C’ và AM = BM = 1/2 BC, A’M’ = B’M’ = 1/2 B’C’)
  • ∠BAM = ∠B’A’M’ (vì ∠A = ∠A’)

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’, ta có:

  • AB = A’B’ (theo giả thiết)
  • AM = A’M’ (chứng minh trên)
  • ∠BAM = ∠B’A’M’ (chứng minh trên)

Vậy tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’ (c.g.c)

Do tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’, nên:

  • BM = B’M’

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

  • AB = A’B’ (theo giả thiết)
  • BC = B’C’ (theo giả thiết)
  • BM = B’M’ (chứng minh trên)

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.c.c)

Luyện tập về phép dời hình

Bài 1: 

  • Cho điểm A(1, 2) và vecto v=(3,4). Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vecto v.
  • Cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v=(2,−1).
  • Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(3, 4) và C(5, 6). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vecto v=(1,0).

Bài 2 

  • Cho điểm A(1, 2) và điểm I(3, 4). Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm qua điểm I.
  • Cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm qua điểm I(1, 2).
  • Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(3, 4) và C(5, 6). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm qua điểm I(0, 0).

Bài 3

  • Cho điểm A(1, 2) và đường thẳng d: x – y = 0. Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục qua đường thẳng d.
  • Cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục qua đường thẳng d’: x – 2y + 1 = 0.
  • Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(3, 4) và C(5, 6). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục qua đường thẳng d: x – y = 0.

Bài 4 

  • Cho điểm A(1, 2) và tâm quay O(0, 0). Tìm ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc 90°.
  • Cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O(0, 0) góc 45°.
  • Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(3, 4) và C(5, 6). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O(0, 0) góc 60°.

Bài 5

  • Chứng minh rằng hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau bằng phép dời hình.
  • Cho hình phẳng H là hình vuông ABCD với A(1, 2), B(3, 2), C(3, 4) và D(1, 4). Tìm ảnh của hình phẳng H qua phép tịnh tiến theo vecto v=(2,1).
  • Cho hai phép dời hình F và G. Tìm hợp của hai phép dời hình F và G.

Phép dời hình là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán hình học. Hãy nắm vững kiến thức về phép dời hình để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập.