Lý thuyết quan trọng bài: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là một kỹ năng toán học cơ bản mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Kỹ năng này giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

Khái niệm phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Số nguyên tố: là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Hợp số: là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ

Phân tích số 24 ra thừa số nguyên tố: \(24 = 2^3 \times 3\).

Số 7 là số nguyên tố vì nó chỉ có hai ước là 1 và 7.

Số 15 là hợp số vì nó có nhiều hơn hai ước (1, 3, 5, 15).

Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Bước 1: Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 2 hay không.

Nếu chia hết cho 2, ta tiếp tục chia thương cho 2 cho đến khi thương không chia hết cho 2 nữa.

Nếu không chia hết cho 2, ta chuyển sang bước 2.

Bước 2: Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 3 hay không.

Nếu chia hết cho 3, ta tiếp tục chia thương cho 3 cho đến khi thương không chia hết cho 3 nữa.

Nếu không chia hết cho 3, ta chuyển sang bước 3.

Bước 3: Tiếp tục kiểm tra xem số đó có chia hết cho các số nguyên tố tiếp theo (5, 7, 11, 13,…) hay không.

Nếu chia hết cho một số nguyên tố nào đó, ta tiếp tục chia thương cho số nguyên tố đó cho đến khi thương không chia hết cho số nguyên tố đó nữa.

Bước 4: Lặp lại bước 3 cho đến khi thương bằng 1.

Lưu ý:

1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Mọi số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ.

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích thành tích các số nguyên tố.

Ví dụ áp dụng

Phân tích số 36 ra thừa số nguyên tố.

Cách 1:

36 chia hết cho 2: \(36 = 2 \times 18\).

18 chia hết cho 2: \(18 = 2 \times 9\).

9 chia hết cho 3: \(9 = 3 \times 3\).

Vậy \(36 = 2^2 \times 3^2\).

Cách 2:

Dựa vào bảng số nguyên tố, ta thấy các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 36 là 2, 3, 5, 7, 11, 13.

36 chia hết cho 2: \(36 = 2 \times18\).

18 chia hết cho 2: \(18 = 2 \times 9\).

9 chia hết cho 3: \(9 = 3 \times 3\).

Vậy \(36 = 2^2 \times 3^2\).

Các dạng toán và phương pháp giải bài tập phân tích một số ra thừa số nguyên tố 

Dạng 1: Phân tích một số tự nhiên cho trước ra thừa số nguyên tố.

Phương pháp giải:

Cách 1: Chia liên tục cho số nguyên tố nhỏ nhất (2) cho đến khi thương bằng 1.

Cách 2: Liệt kê các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn, chia cho các số nguyên tố theo thứ tự cho đến khi thương bằng 1.

Ví dụ:

Phân tích số 24 ra thừa số nguyên tố.

Cách 1:

24 | 2 | 12 | 2 | 6 | 2 | 3 | 1

Vậy \(24 = 2^3 \times 3\).

Cách 2:

24 chia hết cho 2, ta có: \(24 = 2 \times 12\).

12 chia hết cho 2, ta có: \(12 = 2 \times 6\).

6 chia hết cho 2, ta có: \(6 = 2 \times 3\).

Vậy \(24 = 2^3 \times 3\).

Dạng 2: Tìm số nguyên tố trong một tập hợp số.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa số nguyên tố: Số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Sử dụng bảng số nguyên tố để kiểm tra nhanh.

Ví dụ:

Tìm các số nguyên tố trong tập hợp {12, 15, 18}.

Giải:

\(12 = 2^2 \times 3\).

\(15 = 3 \times 5\).

\(18 = 2 \times 3^2\).

Do 12, 15 và 18 đều có nhiều hơn hai ước nên không có số nguyên tố nào trong tập hợp {12, 15, 18}.

Dạng 3: Ứng dụng của phân tích số ra thừa số nguyên tố

Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số.

Giải bài toán liên quan đến chia hết.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất của UCLN và BCNN.

Sử dụng bảng số nguyên tố để rút gọn các thừa số.

Ví dụ:

Tìm UCLN và BCNN của 12 và 15.

Giải:

Phân tích 12 và 15 ra thừa số nguyên tố:

\(12 = 2^2 \times 3\).

\(15 = 3 \times 5\).

UCLN(12, 15) = 3

BCNN(12, 15) = \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).

Bài tập về phân tích số ra thừa số nguyên tố lớp 6 (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Phân tích các số 24, 30, 42 ra thừa số nguyên tố.

Lời giải:

Số 24:

24 | 2 | 12 | 2 | 6 | 2 | 3 | 1

Vậy \(24 = 2^3 \times 3\).

Số 30:

30 | 2 | 15 | 3 | 5 | 1

Vậy \(30 = 2 \times 3 \times 5\).

Số 42:

42 | 2 | 21 | 3 | 7 | 1

Vậy \(42 = 2 \times 3 \times 7\).

Bài 2: Tìm các số nguyên tố trong tập hợp {12, 15, 18}.

Lời giải:

Ta có:

\(12 = 2^2 \times 3\).

\(15 = 3 \times 5\).

\(18 = 2 \times 3^2\).

Theo định nghĩa, số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Do 12, 15 và 18 đều có nhiều hơn hai ước nên không có số nguyên tố nào trong tập hợp {12, 15, 18}.

Vậy, trong tập hợp {12, 15, 18}, không có số nguyên tố nào.

Bài 3: Tìm UCLN và BCNN của 12 và 15.

Lời giải:

Tìm UCLN:

Phân tích 12 và 15 ra thừa số nguyên tố:

\(12 = 2^2 \times 3\).

\(15 = 3 \times 5\).

UCLN(12, 15) là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:

UCLN(12, 15) = 3.

Tìm BCNN:

BCNN(12, 15) là tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ cao nhất:

BCNN(12, 15) = \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).

Vậy, UCLN(12, 15) = 3 và BCNN(12, 15) = 60.

Bài 4: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 12m và chiều rộng 8m. Người ta muốn chia mảnh vườn thành những luống hình vuông có cạnh bằng nhau. Hỏi cạnh của luống vuông lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Lời giải:

Để chia mảnh vườn thành những luống hình vuông có cạnh bằng nhau thì cạnh của luống vuông phải là ước chung của 12 và 8.

Phân tích 12 và 8 ra thừa số nguyên tố:

\(12 = 2^2 \times 3\).

\(8 = 2^3\).

UCLN(12, 8) = \(2^2 = 4\).

Vậy, cạnh của luống vuông lớn nhất có thể là 4m.

Luyện tập

Bài 1: Phân tích các số 36, 48, 60 ra thừa số nguyên tố.

Bài 2: Tìm các số nguyên tố trong tập hợp {20, 25, 30}.

Bài 3: Tìm UCLN và BCNN của 18 và 24.

Bài 4: Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Bài 5: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n chia hết cho 2, 3, 5 và 7.

Bài 6: Chứng minh rằng:

a. Nếu n là số nguyên tố thì \(n^2 + 4\) là hợp số.

b. Nếu n là hợp số thì \(n^2 + 4\) không phải là số nguyên tố.

Bài 7: Cho a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng:

a. Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau thì a + b cũng là số nguyên tố cùng nhau.

b. Nếu a và b không nguyên tố cùng nhau thì a + b không phải là số nguyên tố.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là một kỹ năng toán học cơ bản mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Nắm vững kỹ năng này giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn