Các loại phân phối xác suất phổ biến trong thống kê

Phân phối xác suất là một khái niệm nền tảng trong lý thuyết xác suất và thống kê, được sử dụng để mô tả cách mà xác suất được phân phối trên một tập hợp các kết quả có thể xảy ra. Thông qua việc áp dụng các quy luật phân phối xác suất, chúng ta có thể mô hình hóa, dự đoán và hiểu rõ hơn về các hiện tượng ngẫu nhiên trong tự nhiên và xã hội. Từ việc xác định xác suất của các biến cố đơn giản như tung đồng xu, đến các mô hình phức tạp hơn như dự đoán thời tiết hoặc biến động thị trường chứng khoán, phân phối xác suất cung cấp những công cụ cần thiết để phân tích và ra quyết định dựa trên dữ liệu thực tế.

Khái niệm phân phối xác suất

Phân phối xác suất là một khái niệm cơ bản trong lĩnh vực thống kê và xác suất, mô tả cách mà các kết quả khác nhau của một biến cố ngẫu nhiên được phân bổ. Nó cung cấp thông tin về xác suất xuất hiện của tất cả các kết quả có thể của một biến số ngẫu nhiên. Các phân phối xác suất có thể được mô tả thông qua các hàm số đặc trưng như hàm phân phối xác suất (probability mass function – PMF) đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, hoặc hàm mật độ xác suất (probability density function – PDF) đối với các biến ngẫu nhiên liên tục.

Đặc điểm chính của phân phối xác suất

Định nghĩa rõ ràng kết quả: Phân phối xác suất liệt kê tất cả kết quả có thể của một biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng với mỗi kết quả đó.

Tổng xác suất bằng 1: Tổng xác suất của tất cả các kết quả có thể của biến ngẫu nhiên luôn bằng 1.

Mô tả sự phân bố của dữ liệu: Phân phối xác suất giúp mô tả cách thức phân bố dữ liệu và cung cấp cái nhìn sâu sắc về hình dạng tổng thể của dữ liệu đó, như là tập trung ở đâu, phân tán như thế nào.

Tính chất quan trọng của phân phối xác suất

Phân phối xác suất có một số tính chất và định lý cơ bản mà từ đó, nhiều nguyên tắc và ứng dụng thực tế được xây dựng. 

Định lý Bayes

Định nghĩa: Định lý Bayes là một công cụ quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta cập nhật xác suất của một sự kiện dựa trên bằng chứng mới hoặc thông tin bổ sung.

Công thức

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} \]

trong đó:

– \( P(A|B) \) là xác suất của sự kiện A xảy ra khi biết sự kiện B đã xảy ra.

– \( P(B|A) \) là xác suất của sự kiện B khi biết sự kiện A xảy ra.

– \( P(A) \) và \( P(B) \) là xác suất trước của sự kiện A và B.

 Định lý Bayes được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như y học (để ước tính xác suất của bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm), trong lọc spam (xác định email có phải spam dựa trên từng từ), và trong học máy (cập nhật liên tục các mô hình dự đoán).

Ví dụ: Trong y tế, giả sử xác suất một người có bệnh là 0.1% và xác suất một xét nghiệm cho kết quả dương tính khi người đó thực sự bệnh là 99%, nhưng cũng có 1% khả năng cho kết quả dương tính khi không bệnh. Định lý Bayes giúp tính xác suất người đó thực sự bệnh nếu xét nghiệm dương tính.

Định luật số lớn

Định nghĩa: Định luật số lớn là một nguyên tắc cơ bản cho biết khi số lượng thí nghiệm lặp lại đủ lớn, trung bình của kết quả sẽ tiến gần đến giá trị kỳ vọng (trung bình toán học).

 Định luật này là cơ sở của thống kê mô tả và được sử dụng rộng rãi để dự đoán kết quả trong dài hạn, ví dụ như ước tính tỷ lệ lỗi của một sản phẩm hoặc xác định kỳ vọng thu nhập từ một khoản đầu tư.

Ví dụ: Một ví dụ điển hình là trong cờ bạc. Nếu một trò chơi xí ngầu có kỳ vọng thua là 0.5 USD mỗi lần chơi, theo Định luật số lớn, càng chơi nhiều, tổng số tiền thua càng tiến gần đến 0.5 USD nhân với số lần chơi.

Định lý giới hạn trung tâm

Định nghĩa: Định lý giới hạn trung tâm nói rằng, khi kích thước mẫu tăng lên, phân phối của trung bình mẫu của một biến ngẫu nhiên sẽ tiến gần đến một phân phối chuẩn, bất kể phân phối ban đầu của biến ngẫu nhiên đó như thế nào.

 Định lý này được sử dụng trong nhiều lĩnh vực thống kê, bao gồm kiểm định giả thuyết và ước lượng khoảng tin cậy, và là cơ sở cho phép sử dụng phương pháp phân phối chuẩn trong nhiều tình huống thực tế.

Ví dụ: Trong khảo sát ý kiến, dù ý kiến của từng cá nhân có thể rất khác nhau, nhưng trung bình mẫu từ một nhóm lớn người sẽ tuân theo phân phối chuẩn, cho phép các nhà nghiên cứu ước lượng ý kiến chung một cách chính xác hơn.

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều

 Khái niệm

Bảng phân phối xác suất chuẩn dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Bảng gồm 2 dòng:

– Dòng trên ghi các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên là: \( x_1, x_2, \ldots, x_n \);

– Dòng dưới ghi các xác suất tương ứng là: \( P_1, P_2, \ldots, P_n \).

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X(x_i) & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_n \\
\hline
P(x_i) & P(x_1) & P(x_2) & P(x_3) & P(x_4) & P(x_5) & P(x_n) \\
\hline
\end{array}
\]

 Tính chất bảng phân phối xác suất

Từ tính chất của hàm xác suất ta có:

– \( 0 \leq p(x_i) \leq 1 \)

– \( p(x_1) + p(x_2) + \ldots + p(x_k) = 1 \)

 Đồ thị phân phối xác suất

– Biểu diễn các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên nằm trên trục ngang (trục hoành).

– Biểu diễn các xác suất của các biến cố tương ứng với các giá trị đó nằm trên trục đứng (trục tung). Khi đó đồ thị xác suất được biểu diễn bởi đoạn thẳng (thanh thẳng đứng) mà độ cao của nó bằng xác suất.

Hàm phân phối xác suất – Hàm phân phối tích lũy

 Định nghĩa

Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối tích lũy) của biến ngẫu nhiên rời rạc \( X \), ký hiệu là \( F(x) \).

 Biểu thức

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc \( X \) với các giá trị có thể là \( x_1, x_2, \ldots, x_k \) và các xác suất tương ứng là \( p(x_1) + p(x_2) + \ldots + p(x_k) \) thì biểu thức cụ thể của hàm phân phối tích lũy được cho như sau:

\[
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{khi } x < x_1 \\
p(x_1) & x_1 \leq x < x_2 \\
p(x_1) + p(x_2) & x_2 \leq x < x_3 \\
\vdots & \\
p(x_1) + p(x_2) + \ldots + p(x_{k-1}) & x_{k-1} \leq x < x_k \\
1 & x_k \leq x
\end{cases}
\]

Bài tập phân phối xác suất có lời giải

 Bài tập 1: Phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

Bài toán:

Một đồng xu công bằng được tung lên 10 lần. Hãy tính xác suất để đồng xu rơi vào mặt ngửa đúng 6 lần.

Gợi ý:

– Đây là bài toán về phân phối nhị thức với \( n = 10 \) (số lần tung) và \( p = 0.5 \) (xác suất để đồng xu rơi vào mặt ngửa).

– Công thức phân phối nhị thức: 

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

  Trong đó, \( \binom{n}{k} \) là tổ hợp của \( n \) chọn \( k \).

Giải:

– \( n = 10 \)

– \( k = 6 \)

– \( p = 0.5 \)

\[ P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^{10-6} = \binom{10}{6} (0.5)^{10} \]

\[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6!(10-6)!} = 210 \]

\[ P(X = 6) = 210 \times (0.5)^{10} = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} \approx 0.205 \]

 Bài tập 2: Phân phối chuẩn (Normal Distribution)

Bài toán:

Chiều cao của nam giới trưởng thành trong một thành phố tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 175 cm và độ lệch chuẩn là 10 cm. Tính xác suất để một người nam trưởng thành bất kỳ có chiều cao từ 165 cm đến 185 cm.

Gợi ý:

– Sử dụng phân phối chuẩn với \( \mu = 175 \) và \( \sigma = 10 \).

– Tính giá trị z tương ứng cho 165 cm và 185 cm:

  \[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Giải:

– Giá trị z cho 165 cm:

  \[ z_1 = \frac{165 – 175}{10} = -1 \]

– Giá trị z cho 185 cm:

  \[ z_2 = \frac{185 – 175}{10} = 1 \]

Tra bảng phân phối chuẩn (hoặc sử dụng máy tính):

– Xác suất tương ứng với \( z = -1 \) là 0.1587.

– Xác suất tương ứng với \( z = 1 \) là 0.8413.

Xác suất để chiều cao nằm trong khoảng 165 cm đến 185 cm là:

\[ P(165 \leq X \leq 185) = P(z \leq 1) – P(z \leq -1) \]

\[ P(165 \leq X \leq 185) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 \]

Vậy xác suất để một người nam trưởng thành có chiều cao từ 165 cm đến 185 cm là khoảng 68.26%.

Phân phối xác suất không chỉ là một công cụ lý thuyết quan trọng mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống và công việc. Việc hiểu rõ và áp dụng đúng các quy luật phân phối xác suất giúp chúng ta có thể đưa ra những dự đoán chính xác hơn, ra quyết định hiệu quả hơn, và hiểu sâu hơn về các hiện tượng ngẫu nhiên xung quanh chúng ta. Từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên, kỹ thuật, đến kinh tế và xã hội, phân phối xác suất đã và đang đóng góp không nhỏ vào sự phát triển và tiến bộ của nhân loại. Qua đó, chúng ta càng thấy rõ hơn tầm quan trọng và sức mạnh của toán học và thống kê trong việc khám phá và lý giải thế giới phức tạp và đa dạng.