Nhân chia số hữu tỉ: Các dạng toán thường gặp nhất

Nhân chia số hữu tỉ là một trong những phép toán cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Hiểu rõ cách nhân chia hai số hữu tỉ giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập toán học và ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật.

Nhân hai số hữu tỉ

Định nghĩa: Tích của hai số hữu tỉ x và y là một số hữu tỉ, ký hiệu là x.y hoặc xy.

Quy tắc:

  • Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu dương.
  • Nhân hai tử số và nhân hai mẫu số.

Tính chất:

  • Phép nhân số hữu tỉ có tính giao hoán: x.y = y.x
  • Phép nhân số hữu tỉ có tính kết hợp: (x.y).z = x.(y.z)
  • Nhân với số 1: x.1 = 1.x = x
  • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: x.(y + z) = x.y + x.z

Chia hai số hữu tỉ

Định nghĩa: Thương của hai số hữu tỉ x và y (y ≠ 0) là một số hữu tỉ, ký hiệu là x : y hoặc x/y.

Quy tắc:

  • Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu dương.
  • Chia tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.

Tính chất:

  • Chia với số 1: x : 1 = x
  • Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng: x : (y + z) = (x : y) + (x : z) (với z ≠ 0)

Quy tắc dấu

Nhân, chia hai số hữu tỉ cùng dấu cho kết quả dương: \(\frac{a}{b}. \frac{c}{d} > 0  nếu \) \( \frac{a}{b}, \frac{c}{d}\)  cùng dấu.

Nhân, chia hai số hữu tỉ khác dấu cho kết quả âm:  \(\frac{a}{b}. \frac{c}{d} < 0  nếu \) \( \frac{a}{b}, \frac{c}{d}\)  khác dấu.

Các dạng toán về nhân chia số hữu tỉ

Dạng 1. Nhân chia hai số hữu tỉ

Phương pháp giải

– Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số

– Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số

– Rút gọn kết quả (nếu có thể)

Ví dụ: Tính

a)  \(3 \cdot 5, \left( -\frac{1}{2} \right) \)

b)  \(-\frac{5}{23} : \left( -2 \right) \)

Giải

a) \(3, 5 \left( -\frac{1}{2} \right) = 3 \cdot \frac{7}{2} = 3 \cdot \frac{-7}{5} = \frac{-7}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{-49}{10} = -4,9 \)

b) \(-\frac{5}{23} : \left( -2 \right) = -\frac{5}{23} : \frac{-2}{1} = -\frac{5}{23} \cdot \frac{1}{-2} = \frac{5 \cdot 1}{23 \cdot (-2)} = \frac{-5}{-46} = \frac{5}{46}\)

 Dạng 2.Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ

Phương pháp giải

– Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số

– Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích cảu hai số nguyên

– “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên tìm được

– Lập tích hoặc thương của các phân số đó

Ví dụ. Tìm nhiều cách khác nhau để viết số hữu tỉ \(-\frac{7}{30}\)dưới dạng tích của hai số hữu tỉ

Giải

Ta có

\(\frac{-7}{30} = (-7) \cdot \frac{1}{30} = 7 \cdot \left(- \frac{1}{30}\right) \)
= \(\frac{7}{-1} \cdot \left(\frac{-1}{15} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{7}{15} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \)
= \(\frac{1}{15} \cdot -7 \cdot \frac{-1}{2} = \frac{1}{15} \cdot \frac{7}{2}\)

Dạng 3. Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ

Phương pháp giải

– Nắm vững quy tắc thực hiện các phép tính, chú ý đến dấu của kết quả

– Đảm bảo thứ tự thực hiện các phép tính

– Chú ý vận dụng tính chất các phép tính trong trường hợp có thể

Ví dụ : Tính

\( \left( -\frac{2}{3} + \frac{3}{7} \right) \cdot \frac{4}{5} + \left( -\frac{1}{3} + \frac{4}{7} \right) \cdot \frac{4}{5} \)

b) \(  \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{1}{11} + \frac{5}{22} \right) + \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{1}{15} + \frac{2}{3} \right)\)

Giải

a)\(  \left( -\frac{2}{3} + \frac{3}{7} \right) \cdot \frac{4}{5} + \left( -\frac{1}{3} + \frac{4}{7} \right) \cdot \frac{4}{5} \)

=\(  \left( -\frac{2}{3} + \frac{3}{7} + -\frac{1}{3} + \frac{4}{7} \right) \cdot \frac{4}{5}\)

=\(  \left( -\frac{2}{3} + \frac{3}{7} \right) \cdot \frac{4}{5}\)

= \( 0 \cdot \frac{4}{5} \)

= 0

b)\(  \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{1}{11} + \frac{5}{22} \right) + \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{1}{15} + \frac{2}{3} \right) \)

=\(  \frac{5}{9} \cdot \frac{2 \cdot 5 + 5}{2 \cdot 11} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} \)

= \( \frac{5}{9} \cdot \frac{15}{22} + \frac{5}{9} \cdot \frac{13}{15} \)

= \( \frac{5}{9} \cdot \frac{-22}{3} + \frac{5}{9} \cdot \frac{-27}{3}\)

= \( \frac{5}{9} \cdot \frac{-49}{3} \)

= \( -\frac{5}{9.3}\)

= -5

Dạng 4. Lập biểu thức từ các số cho trước

Phương pháp giải

Khi giải loại toán này, cần quan sát để phát hiện ra đặc điểm và quan hệ của các số đã cho, từ đó lập được biểu thức thích hợp. Sau khi có biểu thức, cần kiểm tra lại theo yêu cầu của đề bài

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về nhân chia hai số hữu tỉ. Hãy tiếp tục học tập và khám phá những điều thú vị khác trong thế giới Toán học!