Lý thuyết quan trọng và cách tìm nghiệm của đa thức một biến

Nghiệm của đa thức một biến là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán lớp 7. Nắm vững kiến thức về nghiệm của đa thức một biến giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Định nghĩa nghiệm của đa thức một biến

Đa thức một biến: là biểu thức đại số chỉ bao gồm các đơn thức có cùng một biến.

Nghiệm của đa thức P(x): là giá trị của x làm cho P(x) bằng 0.

Cách tìm nghiệm của đa thức một biến

  • Thay giá trị của x vào đa thức.
  • Tính giá trị của đa thức.
  • Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì x là nghiệm của đa thức.

Ví dụ:

Đa thức \(P(x) = x^2 – 2x + 1\). Tìm nghiệm của P(x):

Thay x = 1 vào P(x), ta có:

\(P(1) = 1^2 – 2.1 + 1 = 0\)

Vậy x = 1 là nghiệm của P(x).

Thay x = 2 vào P(x), ta có:

\(P(2) = 2^2 – 2.2 + 1 = 1\)

Vậy x = 2 không là nghiệm của P(x).

Số nghiệm của đa thức

Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một, hai, ba,… hoặc không có nghiệm.

Tổng quát: Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của nó.

Ví dụ:

Đa thức \(P(x) = x^2 + 1\):

Vì P(x) có bậc là 2 nên P(x) có thể có 0 hoặc 2 nghiệm.

Đa thức \(Q(x) = x^3 – 2x^2 + x – 2\)

Vì Q(x) có bậc là 3 nên Q(x) có thể có 0, 1, 2 hoặc 3 nghiệm.

Hệ số của đa thức

Hệ số cao nhất: là hệ số của lũy thừa cao nhất của biến.

Hệ số tự do: là hệ số của đơn thức không có lũy thừa của biến.

Ví dụ

Đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\):

Hệ số cao nhất là 2, hệ số tự do là -1.

Đa thức \(Q(x) = x^3 – 2x^2 + x – 2\):

Hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là -2.

Tính chất

– Đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm.

– Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(a) = 0.

Ứng dụng  nghiệm của đa thức một biến

Giải phương trình: Giải phương trình P(x) = 0 bằng cách tìm nghiệm của đa thức P(x).

Phân tích đa thức thành nhân tử: Dựa vào nghiệm của đa thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ:

Giải phương trình \(x^2 – 2x + 1 = 0\):

  • Ta có \(P(x) = x^2 – 2x + 1 = 0\).
  • Vậy x = 1 là nghiệm của P(x).
  • Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Phân tích đa thức \(x^2 – 2x + 1\) thành nhân tử:

  • Ta có \(P(x) = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)(x – 1) = 0\).
  • Vậy \(x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2\).

Các dạng bài tập bài nghiệm của đa thức một biến

Dạng 1: Kiểm tra một số có là nghiệm của đa thức hay không.

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Thay giá trị của số đó vào đa thức.
  • Bước 2: Tính giá trị của đa thức.
  • Bước 3: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì số đó là nghiệm của đa thức, ngược lại thì không.

Ví dụ: Cho đa thức \(P(x) = x^2 – 2x + 1\). Kiểm tra xem x = 1 có là nghiệm của P(x) hay không.

Giải:

Thay x = 1 vào P(x), ta có:

\(P(1) = 1^2 – 2.1 + 1 = 0\)

Vậy x = 1 là nghiệm của P(x).

Dạng 2: Tìm nghiệm của đa thức.

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Cho đa thức bằng 0.

  • Bước 2: Chuyển vế để đưa đa thức về dạng \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)\).

  • Bước 3: Sử dụng một trong các cách sau để tìm nghiệm:

    • Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
    • Cách 2: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ: Cho đa thức \(P(x) = x^2 – 2x + 1\). Tìm nghiệm của P(x).

Giải:

\(P(x) = x^2 – 2x + 1 = 0\)

(x – 1)(x – 1) = 0

=> x – 1 = 0

=> x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của P(x).

Dạng 3: Chứng minh đa thức vô nghiệm.

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Giả sử đa thức có nghiệm.
  • Bước 2: Dẫn đến mâu thuẫn.
  • Bước 3: Kết luận đa thức vô nghiệm.

Ví dụ: Chứng minh đa thức \(P(x) = x^2 + 1\) vô nghiệm.

Giải:

Giả sử P(x) có nghiệm, nghĩa là tồn tại giá trị x sao cho:

\(x^2 + 1 = 0\)

=> \(x^2 = -1\)

Mà x^2 là bình phương của một số thực nên \(x^2 ≥ 0\).

Do đó, không tồn tại giá trị x nào thỏa mãn \(x^2 = -1\).

Vậy đa thức \(P(x) = x^2 + 1\) vô nghiệm.

Dạng 4: Vận dụng nghiệm của đa thức để giải bài toán.

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Biểu diễn các đại lượng trong bài toán bằng các đa thức.
  • Bước 2: Lập biểu thức biểu thị yêu cầu của bài toán.
  • Bước 3: Tìm nghiệm của biểu thức.
  • Bước 4: Giải thích kết quả.

Ví dụ: Một hình vuông có cạnh a (cm). Biểu thức biểu thị chu vi của hình vuông là P(a) = 4a. Tìm giá trị của a để chu vi của hình vuông bằng 20 cm.

Giải:

P(a) = 4a = 20

=> a = 5

Vậy cạnh của hình vuông bằng 5 cm.

Bài tập có lời giải chi tiết cho bài: Nghiệm của đa thức một biến

Bài 1: Cho đa thức \(P(x) = x^2 – 2x + 1\). Kiểm tra xem x = 1 và x = 2 có là nghiệm của P(x) hay không.

Giải:

Với x = 1:

\(P(1) = 1^2 – 2.1 + 1 = 0\)

Vậy x = 1 là nghiệm của P(x).

Với x = 2:

\(P(2) = 2^2 – 2.2 + 1 = 1\)

Vậy x = 2 không là nghiệm của P(x).

Bài 2: Cho đa thức \(P(x) = x^2 – 4x + 3\). Tìm nghiệm của P(x).

Giải:

\(P(x) = x^2 – 4x + 3 = 0\)

(x – 1)(x – 3) = 0

=> x – 1 = 0 hoặc x – 3 = 0

=> x = 1 hoặc x = 3

Vậy x = 1 và x = 3 là nghiệm của P(x).

Bài 3: Chứng minh đa thức \(P(x) = x^2 + 1\) vô nghiệm.

Giải:

Giả sử P(x) có nghiệm, nghĩa là tồn tại giá trị x sao cho:

\(x^2 + 1 = 0\)

=> \(x^2 = -1\)

Mà \(x^2\) là bình phương của một số thực nên \(x^2 ≥ 0\).

Do đó, không tồn tại giá trị x nào thỏa mãn \(x^2 = -1\).

Vậy đa thức \(P(x) = x^2 + 1\) vô nghiệm.

Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài a (cm) và chiều rộng b (cm). Biết diện tích của hình chữ nhật là 30 cm^2 và chu vi là 34 cm. Tìm a và b.

Giải:

 Biểu diễn các đại lượng:

Diện tích: \(S = ab (cm^2)\)

Chu vi: P = 2(a + b) (cm)

 Lập biểu thức:

Theo đề bài, ta có: S = 30 và P = 34.

Thay S = ab và P = 2(a + b) vào hệ phương trình, ta được:

{ab = 30} {2(a + b) = 34}

Giải hệ phương trình, ta được: a = 6 và b = 5.

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 6 cm và chiều rộng là 5 cm.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đa thức \(P(x) = x^3 – 2x^2 + x – 1\).

  • Tìm nghiệm của P(x).
  • Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm duy nhất của P(x).

Bài 2: Cho hai đa thức \(P(x) = x^2 – 3x + 2\) và \(Q(x) = x^2 + 2x – 3\).

  • Tính P(x) + Q(x).
  • Tính P(x) – Q(x).
  • Tìm nghiệm của P(x) + Q(x).

Bài 3: Một hình vuông có cạnh a (cm). Biểu thức biểu thị chu vi của hình vuông là P(a). Tìm giá trị của a để chu vi của hình vuông bằng 32 cm.

Bài 4: Cho đa thức \(P(x) = x^4 + 3x^3 – 2x^2 – 5x + 1\).

  • Tìm bậc của P(x).
  • Tính hệ số cao nhất và hệ số tự do của P(x).

Bài 5: Cho hai biểu thức \(A = x^2 + 2xy – 3x\) và \(B = 3x^2 – xy + 2x\)

  • Tính A + B.
  • Tính A – B.

Bài 6: Một hình chữ nhật có chiều dài x (cm) và chiều rộng y (cm). Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật là S(x, y). Tìm biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật.

Bài 7: Cho đa thức \(P(x) = x^3 + 2x^2 – 3x + 1\). Tìm đa thức Q(x) sao cho \(P(x) + Q(x) = x^3 + x^2 – 1\).

Bài 8: Giải phương trình \(x^2 – 4x + 4 = 0\).

Bài 9: Một hình vuông có cạnh a (cm). Biểu thức biểu thị diện tích của hình vuông là S(a). Tìm giá trị của a để diện tích của hình vuông bằng 64 cm^2.

Bài 10: Cho hai biểu thức \(A = 2x^2 + 3xy – 4x\) và \(B = 5x^2 – 2xy + 3x\).

  • Tính A + B.
  • Tính A – B.

Qua bài học này, học sinh đã nắm được kiến thức cơ bản về nghiệm của đa thức một biến, bao gồm định nghĩa, cách tìm nghiệm và ứng dụng vào giải bài toán. Việc học bài học này giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề và rèn luyện kỹ năng tính toán.

Chúc bạn học tốt!