Tổng quan về mặt trụ tròn xoay: Khái niệm, công thức và bài tập

Mặt trụ tròn xoay là một chủ đề quan trọng trong chương Hình đa diện của Toán lớp 12. Việc nắm vững kiến thức về mặt trụ tròn xoay là vô cùng cần thiết để học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về mặt trụ tròn xoay, bao gồm khái niệm, yếu tố, tính chất, diện tích, thể tích và ứng dụng.

Lý thuyết về mặt trụ tròn xoay

Khái niệm

Mặt trụ tròn xoay là mặt được tạo thành khi quay một đường thẳng (đường sinh) quanh một đường thẳng cố định (trục) và song song với đường sinh.

Yếu tố

  • Trục: Là đường thẳng cố định mà đường sinh quay quanh.
  • Đường sinh: Là đường cong quay quanh trục để tạo thành mặt trụ tròn xoay.
  • Mặt phẳng kinh tuyến: Là mặt phẳng qua trục và vuông góc với đường sinh tại một điểm M bất kỳ của đường sinh.
  • Thiết diện: Là giao tuyến của mặt trụ tròn xoay với một mặt phẳng.

Phân loại mặt trụ tròn xoay

  • Mặt trụ tròn xoay có đáy là hình tròn: Đây là loại mặt trụ tròn xoay phổ biến nhất.
  • Mặt trụ tròn xoay có đáy là hình elip: Loại mặt trụ này được tạo thành khi quay một đường elip quanh trục của nó.
  • Mặt trụ tròn xoay có đáy là hình parabol: Loại mặt trụ này được tạo thành khi quay một đường parabol quanh trục của nó.

Tính chất

  • Mọi điểm trên mặt trụ tròn xoay đều cách đều trục.
  • Mọi mặt phẳng kinh tuyến đều cắt mặt trụ tròn xoay theo một đoạn thẳng.
  • Mặt trụ tròn xoay có thể được trải phẳng thành một hình chữ nhật.

Diện tích và thể tích

  • Diện tích xung quanh: \(Sxq = 2πrh\)
  • Diện tích toàn phần: \(Stp = 2πrh + 2πr²\)
  • Thể tích: \(V = πr²h\)

Những lưu ý khi tính diện tích mặt trụ tròn xoay

Trong quá trình tính diện tích xq của hình trụ tròn xoay, chúng ta cần chú ý đến các bước sau đây:

Trước hết, phải xác định các thông số cần thiết của hình trụ tròn xoay như bán kính đáy (r) và chiều cao (h). Đảm bảo rằng các giá trị này được đo bằng đơn vị đồng nhất (ví dụ: cm).

Tiếp theo, tính diện tích xq của hình trụ tròn xoay bằng công thức \(Sxq = 2πrh\), trong đó π có thể được xấp xỉ là 3,14.

Nếu cần tính diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay, ta cần thêm diện tích của hai đáy tròn và diện tích xq của hình trụ. Công thức tính diện tích toàn phần là \(Stp = 2πr² + 2πrh\).

Sau khi có các giá trị bán kính và chiều cao, thay vào công thức và thực hiện tính toán để đạt được giá trị cuối cùng.

Trong trường hợp sai số lớn hoặc không chính xác, cần kiểm tra lại từng bước tính toán để đảm bảo kết quả chính xác.

Cuối cùng, kết quả tính toán cần được ghi lại kèm theo đơn vị diện tích để tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nhầm.

Lưu ý rằng việc tính diện tích xq của hình trụ tròn xoay đòi hỏi kiến thức về hình học không gian, đặc biệt là về hình trụ và hình tròn xoay. Nếu không chắc chắn về quá trình tính toán, hãy tìm hiểu thêm hoặc tham khảo nguồn tài liệu uy tín trước khi áp dụng vào giải quyết bài toán cụ thể.

Bài tập về mặt trụ tròn xoay có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).

Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P).

Khi đó đường thẳng Δ song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.

Đường thẳng Δ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a)Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.

b)Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Lời giải:

Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 7.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

\(Sxq = 2π.r.l = 2π.5.7 = 70π (cm2 )\).

Thể tích của khối trụ được tạo nên là:

\(V = πr2.h = π.52.7 = 175π ( cm3 )\)

Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục 3cm, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác AA1B1B.

Gọi H là trung điểm của AB.

Ta có

Suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)), (1)

Lại có: OO1// mp (AA1B1B) , (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)= d( OO1, (AA1B1B) ) = 3 cm

* Xét tam giác AOH vuông tại H ta có:

AH2 = AO2 – OH2 = 52 -32 = 16

⇒ AH = 4cm ⇒ AB = 2AH = 8cm

Diện tích của thiết diện cần tính là :

SAA1B1B = AB. AA1 = 8. 7 = 56 (cm2)

Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r √3

a)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b)Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c)Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

Lời giải:

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về mặt trụ tròn xoay lớp 12.