Mặt phẳng tọa độ: Cách xác định và các dạng bài tập có lời giải chi tiết

Mặt phẳng tọa độ là một công cụ quan trọng trong toán học, giúp chúng ta xác định vị trí của các điểm trên mặt phẳng. Bài học này sẽ giới thiệu cho các bạn về khái niệm hệ trục tọa độ, cách vẽ và sử dụng hệ trục tọa độ để giải các bài toán liên quan đến vị trí của các điểm trên mặt phẳng.

Mặt phẳng tọa độ

Mặt phẳng tọa độ là một hệ thống gồm hai trục số vuông góc nhau, gọi là trục hoành Ox và trục tung Oy.

Giao điểm của hai trục gọi là gốc tọa độ O.

Mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ được xác định bởi một cặp số (x; y) gọi là tọa độ của điểm đó.

Mặt phẳng tọa độ

Cách xác định tọa độ của một điểm

Từ điểm M cần xác định tọa độ, kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt trục Ox tại A.

Kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy, cắt trục Oy tại B.

Tọa độ của điểm M là (x; y) với x là hoành độ (tọa độ trên trục Ox) và y là tung độ (tọa độ trên trục Oy) của điểm M.

Cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ

Bước 1: Xác định hoành độ và tung độ của điểm cần vẽ.

Bước 2: Từ gốc tọa độ O, di chuyển sang bên phải x đơn vị theo trục Ox.

Bước 3: Từ điểm vừa di chuyển, di chuyển lên trên y đơn vị theo trục Oy.

Bước 4: Giao điểm của hai đường thẳng vừa di chuyển là điểm cần vẽ.

Các góc phần tư trên mặt phẳng tọa độ

Mặt phẳng tọa độ được chia thành bốn góc phần tư bởi hai trục tọa độ.

Góc phần tư thứ nhất: x > 0, y > 0.

Góc phần tư thứ hai: x < 0, y > 0.

Góc phần tư thứ ba: x < 0, y < 0.

Góc phần tư thứ tư: x > 0, y < 0.

Mẹo ghi nhớ

Mặt phẳng tọa độ bao gồm trục tung Oy và trục hoành Ox: các điểm trên trục tung Oy luôn có hoành độ bằng 0. Ngược lại, các điểm trên trục hoành Ox luôn có tung độ bằng 0

Gốc tọa độ O là điểm giao nhau giữa Ox và Oy, có tọa độ là 0:0

Ox và Oy chia mặt phẳng thành 4 góc phần tư khác nhau: Góc phần tư thứ nhất các điểm có tung độ và hoàng độ đều dương. Góc phần tư thứ hai các điểm có tung độ dương và hoàng độ âm. Góc phần tư thứ ba các điểm có tung độ và hoàng độ đều âm. Góc phần tư thứ tư các điểm có tung độ âm và hoàng độ dương

Các dạng bài tập mặt phẳng tọa độ

Dạng 1: Vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải:

Xác định hoành độ và tung độ của điểm.

Đánh dấu vị trí điểm trên trục Ox và trục Oy.

Nối hai điểm đã đánh dấu bằng một đường thẳng.

Ví dụ: Vẽ điểm M(3; -2) trên mặt phẳng tọa độ.

Dạng 2: Xác định tọa độ của điểm

Phương pháp giải:

Xác định vị trí điểm trên trục Ox và trục Oy.

Đọc hoành độ và tung độ của điểm.

Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm N nằm trên trục Ox, cách gốc tọa độ 4 đơn vị sang bên phải.

Dạng 3: Tìm khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(d = \sqrt{(x₂ – x₁)^2 + (y₂ – y₁)^2}\)

Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A(2; 3) và B(-1; -1).

Dạng 4: Biểu diễn các đại lượng bằng tọa độ

Phương pháp giải:

Chọn trục tọa độ phù hợp.

Biểu diễn các đại lượng bằng các đoạn thẳng trên trục tọa độ.

Ví dụ: Biểu diễn quãng đường đi và thời gian di chuyển bằng tọa độ trên mặt phẳng tọa độ.

Dạng 5: Giải bài toán ứng dụng

Phương pháp giải:

Phân tích đề bài: Xác định các đại lượng, mối quan hệ giữa các đại lượng, yêu cầu của bài toán.

Biểu diễn các đại lượng bằng tọa độ trên mặt phẳng tọa độ.

Giải bài toán bằng các kiến thức về mặt phẳng tọa độ.

Kiểm tra kết quả: Kiểm tra xem kết quả có hợp lý hay không.

Ví dụ: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Sau 1 giờ 30 phút, một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 75 km/h. Hỏi sau bao lâu xe máy đuổi kịp ô tô?

Bài tập về mặt phẳng tọa độ và lời giải chi tiết

Bài 1:

Vẽ các điểm A(2; 3), B(-1; 1), C(-3; -3) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Bước 1: Vẽ trục tọa độ Oxy.

Bước 2: Vẽ điểm A:

Xác định vị trí điểm A trên trục Ox: cách gốc tọa độ 2 đơn vị sang bên phải.

Xác định vị trí điểm A trên trục Oy: cách gốc tọa độ 3 đơn vị lên phía trên.

Nối hai điểm đã xác định được bằng một đường thẳng.

Bước 3: Vẽ điểm B và điểm C tương tự.

Bài 2:

Xác định tọa độ của điểm D nằm trên trục hoành, cách gốc tọa độ 5 đơn vị sang bên phải.

Lời giải:

Hoành độ của điểm D là 5 (cách gốc tọa độ 5 đơn vị sang bên phải).

Tung độ của điểm D là 0 (nằm trên trục hoành).

Vậy tọa độ của điểm D là (5; 0).

Bài 3:

Tìm khoảng cách giữa hai điểm M(2; 3) và N(-1; 1).

Lời giải:

Sử dụng công thức:

\(d = \sqrt{(x₂ – x₁)^2 + (y₂ – y₁)^2}\)

Thay số:

\(d = \sqrt{(-1 – 2)^2 + (1 – 3)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm M và N là \(\sqrt{13}\)

Bài 4:

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Sau 1 giờ 30 phút, một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 75 km/h. Hỏi sau bao lâu xe máy đuổi kịp ô tô?

Lời giải:

Bước 1: Gọi x là thời gian xe máy đi từ A đến B (x > 1,5).

Bước 2: Quãng đường ô tô đi trong 1 giờ 30 phút là: 60.1,5 = 90 km.

Bước 3: Quãng đường xe máy đi trong x giờ là: 75x.

Bước 4: Vì quãng đường đi từ A đến B là như nhau nên ta có phương trình:

90 + 75x = 60x

Bước 5: Giải phương trình:

15x = 90

x = 6

Vậy sau 6 giờ xe máy đuổi kịp ô tô.

Hy vọng các bạn đã nắm vững khái niệm hệ trục tọa độ, cách vẽ và sử dụng hệ trục tọa độ để giải các bài toán liên quan đến vị trí của các điểm trên mặt phẳng.