Lý thuyết lũy thừa của một số hữu tỉ: Các dạng bài tập và phương pháp giải

Luỹ thừa là một phép toán toán học quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Trong chương trình Toán lớp 7, chúng ta sẽ tìm hiểu về Luỹ thừa của một số hữu tỉ.

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Định nghĩa: Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x (n là số tự nhiên lớn hơn 1) là tích của n thừa số x. Ký hiệu là x^n.

Ví dụ: \(3^2 = 3 x 3 = 9; (-2)^3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8\)

Tính chất:

\(a^m x a^n = a^{m+n} (a ≠ 0)\)

\(a^m : a^n = a^{m-n} (a ≠ 0; m ≥ n)\).

\((a^m)^n = a^{m x n}\).

\(a^0 = 1 (a ≠ 0)\).

\(a^1 = a\).

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Định nghĩa: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) (x ≠ 0; n là số tự nhiên lớn hơn 1).

Ví dụ: \(2^(-3) = 1/2^3 = 1/8; (-3)^(-2) = 1/(-3)^2 = 1/9\).

Tính chất:

\(a^{-m} x a^{-n} = a^{-m-n} (a ≠ 0)\).

\(a^{-m} : a^{-n} = a^{n-m} (a ≠ 0; n ≥ m)\).

Lũy thừa của lũy thừa

Định nghĩa: \((a^m)^n = a^(m x n)\).

Ví dụ: \((2^3)^2 = 2^{3 x 2} = 2^6 = 64\).

Biểu thức lũy thừa của một số hữu tỉ

Định nghĩa: Biểu thức lũy thừa là biểu thức có dạng \(a^n\), trong đó a là số hữu tỉ, n là số tự nhiên.

Ví dụ: \(3^2, (-2)^3, x^5\).

Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Tích của hai lũy thừa cùng cơ số

Quy tắc: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

Công thức:

\(a^m x a^n = a^{m+n}\)

Ví dụ:

\(2^3 x 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)

\((-3)^4 x (-3)^6 = (-3)^{4+6} = (-3)^10 = 59049\)

Thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Quy tắc: Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ hai số mũ.

Công thức:

\(a^m : a^n = a^{m-n} (a ≠ 0)\)

Ví dụ:

\(2^5 : 2^2 = 2^{5-2}= 2^3 = 8\)

\((-5)^7 : (-5)^3 = (-5)^{7-3} = (-5)^4 = 625\)

Bảng tóm tắt các công thức lũy thừa

Công thức Ví dụ
\(a^m x a^n = a^{m+n}\) \(2^3 x 2^2 = 2^5\)
\(a^m : a^n = a^{m-n}\) \(2^5 : 2^2 = 2^3\)
\((a^m)^n = a^{m x n}\) \((2^3)^2 = 2^6\)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) \(2^(-3) = 1/2^3\)
\(a^0 = 1\) \(2^0 = 1\)
\(a^1 = a\) \(2^1 = 2\)
\((-2)^3 và (-3)^2\)

Giải:

Vì \((-2)^3 = -8 và (-3)^2 = 9 nên (-2)^3 < (-3)^2\).

Dạng 3: Viết kết quả dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất của lũy thừa.

Phân tích các thừa số thành tích các lũy thừa.

Ví dụ:

Viết 8 x 16 dưới dạng lũy thừa.

Giải:

\(8 x 16 = 2^3 x 2^4 = 2^(3+4) = 2^7\).

Viết 27 : 9 dưới dạng lũy thừa.

Giải:

\(27 : 9 = 3^3 : 3^2 = 3^(3-2) = 3^1 = 3\).

Dạng 4: Giải bài toán bằng cách sử dụng lũy thừa

Phương pháp giải:

Lập biểu thức toán học theo yêu cầu của bài toán.

Tính giá trị của biểu thức.

Giải thích kết quả.

Ví dụ:

Một mảnh đất hình vuông có cạnh dài 5m. Tính diện tích mảnh đất đó.

Giải:

Diện tích mảnh đất là:

\(S = 5 x 5 = 5^2 = 25 (m^2)\).

Vậy diện tích mảnh đất là \(25m^2\).

Luyện tập

Bài 1: Tính giá trị của:

\(M = 100^2– 99^2 + 98^2 – 97^2 + … + 2^2 – 1^2\);

\(N = (20^2+ 18^2 + 16^2 + … + 4^2 + 2^2) – (19^2 + 17^2 + 15^2 + … + 3^2 + 1^2)\);

\(P = (-1)^n.(-1)^{2n+1}.(-1)^{n+1}\)

Bài 2: Tìm x biết rằng:

a) \((x – 1)^3= 27\);

b) \(x^2+ x = 0\);

c) \((2x + 1)^2 = 25\);

d) \((2x – 3)^2 = 36\);

e) \(5x + 2= 625\);

f) \((x – 1)^x + 2= (x – 1)x + 4\);

g) \((2x – 1)^3 = -8\).

Bài 3: So sánh:

a) \(99^{20}và 9999^{10}\);

b) \(3^{21}và 2^{31}\);

c) \(2^{30} + 3^{30} + 4^{30} và 3.24^{10}\).

Bài 4: Chứng minh rằng nếu \(a = x^3y; b = x^2y^2; c = xy^3\) thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có: \(ax + b^2 – 2x^4y^4 = 0\) ?

Bài 5: Chứng minh đẳng thức: \(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{99} + 2^{100} = 2^{101 – 1}\)

Qua bài học về Luỹ thừa của một số hữu tỉ, chúng ta đã nắm được các định nghĩa, tính chất và cách tính toán liên quan đến lũy thừa. Hiểu rõ kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả.