Những kiến thức về khối đa diện và phương pháp giải nhanh nhất

Khối đa diện là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đóng vai trò thiết yếu trong việc phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan đầy đủ về khối đa diện lớp 12, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các bài tập liên quan.

Khối đa diện là gì?

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:

  • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung.
  • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Các loại khối đa diện

  • Khối đa diện lồi: mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong khối đa diện đều nằm hoàn toàn trong khối đa diện.
  • Khối đa diện lõm: có ít nhất một đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong khối đa diện không nằm hoàn toàn trong khối đa diện.

Ví dụ 

  • Khối chóp
  • Lăng trụ
  • Hình hộp chữ nhật
  • Hình cầu

Tính chất 

  • Số đỉnh: Số đỉnh của một khối đa diện bằng tổng số cạnh của tất cả các mặt của nó.
  • Số cạnh: Số cạnh của một khối đa diện bằng tổng số cạnh chung của tất cả các mặt của nó.
  • Số mặt: Số mặt của một khối đa diện là số lượng đa giác phẳng tạo thành hình đa diện đó.

Ứng dụng của khối đa diện

  • Khối đa diện được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật, khoa học máy tính…
  • Ví dụ, khối chóp được sử dụng để xây dựng kim tự tháp, lăng trụ được sử dụng để làm hộp đựng, hình hộp chữ nhật được sử dụng để làm nhà cửa…

Cách tính diện tích và thể tích khối đa diện

Diện tích toàn phần 

Diện tích toàn phần của khối đa diện bằng tổng diện tích của tất cả các mặt của nó.

Thể tích của khối đa diện

  • Thể tích của khối chóp: \(V = 1/3 * S * h\), trong đó:
    • V là thể tích của khối chóp.
    • S là diện tích đáy của khối chóp.
    • h là chiều cao của khối chóp.
  • Thể tích của lăng trụ: \(V = S * h\), trong đó:
    • V là thể tích của lăng trụ.
    • S là diện tích đáy của lăng trụ.
    • h là chiều cao của lăng trụ.

Ví dụ:

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều:

  • Diện tích đáy: \(S = a^2\)
  • Chiều cao: \(h = √(2a^2 – d^2)\)
  • Diện tích toàn phần: \(S = 4 * 1/2 * a * √(a^2 + h^2)\)
  • Thể tích: \(V = 1/3 * a^2 * √(2a^2 – d^2)\)

Lưu ý:

  • Các công thức trên chỉ áp dụng cho các khối đa diện lồi.
  • Có nhiều công thức khác để tính diện tích và thể tích của các khối đa diện khác nhau.
  • Cần chọn công thức phù hợp với từng loại khối đa diện cụ thể.

Các đặc điểm chung của khối đa diện

Hình dạng

  • Khối đa diện được giới hạn bởi một hình đa diện.
  • Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:
    • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung.
    • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Cấu tạo

  • Khối đa diện được tạo bởi các mặt, cạnh và đỉnh.
  • Mặt: Các mặt của khối đa diện là các đa giác phẳng.
  • Cạnh: Các cạnh của khối đa diện là các cạnh chung của hai mặt.
  • Đỉnh: Các đỉnh của khối đa diện là các điểm chung của ba cạnh hoặc nhiều hơn.

Tính chất

  • Số đỉnh: Số đỉnh của một khối đa diện bằng tổng số cạnh của tất cả các mặt của nó.
  • Số cạnh: Số cạnh của một khối đa diện bằng tổng số cạnh chung của tất cả các mặt của nó.
  • Số mặt: Số mặt của một khối đa diện là số lượng đa giác phẳng tạo thành hình đa diện đó.

Các dạng bài tập về khối đa diện

Dạng 1: Tính diện tích và thể tích khối đa diện

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp.

Bài tập 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ.

Dạng 2: Chứng minh tính chất của khối đa diện

Bài tập 3: Chứng minh rằng tổng các góc phẳng của một đỉnh bất kỳ trong khối đa diện lồi bằng 360 độ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng hai mặt phẳng phân biệt trong không gian có thể không có điểm chung, hoặc có một điểm chung, hoặc có một đường thẳng chung, hoặc trùng nhau.

Dạng 3: Bài toán ứng dụng

Bài tập 5: Một cái hộp hình hộp chữ nhật có chiều dài 50 cm, chiều rộng 30 cm và chiều cao 20 cm. Người ta muốn sơn tất cả các mặt ngoài của cái hộp. Hỏi diện tích cần sơn là bao nhiêu?

Bài tập 6: Một kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng 10 m và chiều cao bằng 15 m. Tính thể tích của kim tự tháp.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về khối đa diện lớp 12. Để tiếp tục ôn tập và củng cố kiến thức, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu và bài tập liên quan. Chúc bạn thành công trong học tập và đạt điểm cao trong các kỳ thi!