Tính chất của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Trong không gian ba chiều, một điểm có thể có nhiều vị trí tương đối so với một đường thẳng. Một trong những vị trí quan trọng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng. Bài học này sẽ giới thiệu về định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d là đoạn thẳng ngắn nhất nối M với một điểm bất kỳ trên d. Đoạn thẳng này được gọi là đường vuông góc chung của điểm M và đường thẳng d.

Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x₀, y₀) và đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0, ta có công thức tính khoảng cách từ M đến d như sau:

\(d(M, d) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)

Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Ví dụ

Cho điểm M(1, 2) và đường thẳng d có phương trình 2x – y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ M đến d.

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

\(d(M, d) = |2.1 – 2.2 + 1|/√(2² + (-1)²) = 1/√5\)

Vậy, khoảng cách từ M đến d là 1/√5.

Chứng minh công thức

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.

Ta có:

  • MH ⊥ d
  • MH là đường ngắn nhất nối M với d

Theo định lý Pytago, ta có:

\(HM² = AM² – AH²\)

Mà \(AM = d(M, d) và AH = d(A, d), ta có:

[latex]d(M, d)² = d(A, d)² + MH²\)

Lại có:

\(d(A, d) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)

Thay vào, ta có:

\(d(M, d)² = |Ax₀ + By₀ + C|²/√(A² + B²) + MH²\)

Vì MH là khoảng cách từ H đến d, ta có:

\(MH = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)

Thay vào, ta có:

\(d(M, d)² = |Ax₀ + By₀ + C|²/√(A² + B²) + |Ax₀ + By₀ + C|²/√(A² + B²)\)

Suy ra:

\(d(M, d) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)

Tính chất khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tính chất cơ bản

  • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một giá trị không âm.
  • Khoảng cách từ một điểm đến chính nó là 0.
  • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng không đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ.

Tính chất liên quan đến vị trí tương đối

  • Điểm nằm trên đường thẳng: Khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng là 0.
  • Điểm nằm trong mặt phẳng song song với đường thẳng: Khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng.
  • Điểm nằm ngoài mặt phẳng song song với đường thẳng: Khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng.

Tính chất liên quan đến góc

  • Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng.
  • Góc giữa một đường thẳng và một vectơ bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của vectơ đó lên đường thẳng.

Qua bài học này, chúng ta đã tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho các bạn trong việc giải các bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng