Tổng hợp kiến thức về dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Việc nắm vững khái niệm và phương pháp xét dấu tam thức bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau. Bài viết này sẽ trình bày các nội dung cơ bản về dấu của tam thức bậc hai, bao gồm: định nghĩa, tính chất, phương pháp xét dấu và ứng dụng.

Khái niệm dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng: \(ax² + bx + c = 0\), trong đó a,b,c là những hệ số cho trước và a ≠ 0.

Ví dụ:

\(f(x) = x²-4x + 5\) là tam thức bậc hai 2

\(f(x) = x²(2×7)\) không là tam thức bậc hai.

Nghiệm của phương trình \(ax²+bx+c=0\) là nghiệm của tam thức bậc hai;Δ = \(b^2-4ac\) và Δ ‘ = \(b’^2 – ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\).

Định lý dấu của tam thức bậc hai

Định lý thuận

Cho \(f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0), Δ = b^2 – 4ac\).

Nếu Δ < 0: f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

Nếu Δ = 0: f(x) có nghiệm kép \(x = -b/2a\).

Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x ≠ -b/2a\).

Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1 < x2)

• f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2.
• f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2.

Định lý đảo dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc 2: \(f(x)=ax2 + bx + c = 0\) VỚI a ≠ 0. Nếu tồn tại số a thỏa mãn điều kiện: \(a.f(a) < 0\) thì f(x) sẽ có hai nghiệm phân biệt x1, x2: x1 < <x2

Cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Bước 2: Tính biệt thức Δ = \(b^2 – 4ac\).

Bước 3: Xét dấu của f(x) dựa vào giá trị của Δ:

• Nếu Δ < 0: f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.
• Nếu Δ = 0: f(x) có nghiệm kép \(x = -b/2a\).

f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x ≠ -b/2a\).

• Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1 < x2)
  • f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2.
  • f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2.

Lưu ý:

• Khi xét dấu tam thức bậc hai, cần chú ý đến điều kiện của biến x (nếu có).
• Khi Δ = 0, f(x) có nghiệm kép \(x = -b/2a\). Vậy f(x) chỉ đổi dấu tại \(x = -b/2a\).
• Khi Δ > 0, f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Vậy f(x) đổi dấu tại hai điểm x1 và x2.

Ví dụ:

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).

Bước 1: a = 1, b = -4, c = 3.

Bước 2: \(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4\)

Bước 3: Δ > 0, f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3.

• f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 3.
• f(x) < 0 khi 1 < x < 3.

Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai trong toán học

Dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, bao gồm:

Giải bất phương trình bậc hai

Dựa vào dấu của tam thức bậc hai, ta có thể xác định các khoảng giá trị của x để f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 hoặc f(x) ≤ 0. Từ đó, ta có thể giải các bất phương trình bậc hai.

Ví dụ: Giải bất phương trình \(x^2 – 4x + 3 > 0\).

Bước 1: Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).

• a = 1, b = -4, c = 3.
• \(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4\)
• f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 3.

Bước 2: Giải bất phương trình.

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x^2 – 4x + 3 > 0 là x ∈ (-∞; 1) ∪ (3; ∞)\).

Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Dựa vào dấu của tam thức bậc hai, ta có thể xác định số nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\).

• Nếu Δ < 0: Phương trình có hai nghiệm phức.
• Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
• Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Xác định số nghiệm của phương trình \(x^2 – 4x + 3 = 0\).

• a = 1, b = -4, c = 3.
• \(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4\)
  

Vậy phương trình \(x^2 – 4x + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai giúp ta xác định hướng đi của parabol, từ đó vẽ đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\).

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số \(y = x^2 – 4x + 3\).

• a = 1, b = -4, c = 3.
• \(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4\)
• f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 3.
• f(x) < 0 khi 1 < x < 3.

Parabol đi lên khi x < 1 hoặc x > 3 và đi xuống khi 1 < x < 3.

Bài tập xét dấu của tam thức bậc hai

Bài 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f(x) = x^2 + 4x + 3\)

b) \(g(x) = -x^2 + 2x – 3\)

c) \(h(x) = 2x^2 – 5x + 2\)

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) \(x^2 + 4x + 3 > 0\)

b) \(-x^2 + 2x – 3 < 0\)

c) \(2x^2 – 5x + 2 > 0\)

Bài3: Xác định số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(x^2 + 4x + 3 = 0\)

b) \(-x^2 + 2x – 3 = 0\)

c) \( 2x^2 – 5x + 2 = 0\)

Bài4 : Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = x^2 + 4x + 3\)

b) \(y = -x^2 + 2x – 3\)

c) \(y = 2x^2 – 5x + 2\)

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) \(P = x^2 + 4x + 3\)

b) \(Q = -x^2 + 2x – 3\)

c) \(R = 2x^2 – 5x + 2\)

Bài6: Chứng minh rằng các bất phương trình sau:

a) \(x^2 + 4x + 3 > 0\) vô nghiệm

b) \(-x^2 + 2x – 3 < 0\) vô nghiệm

c) \(2x^2 – 5x + 2 > 0\) vô nghiệm

Tóm lại, dấu của tam thức bậc hai là một công cụ hữu ích để giải quyết nhiều dạng bài tập toán học. Việc nắm vững kiến thức về chủ đề này giúp học sinh nâng cao tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.