Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Trong không gian ba chiều, một điểm có thể có nhiều vị trí tương đối so với một đường thẳng. Một trong những vị trí quan trọng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng. Bài học này sẽ giới thiệu về định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d là đoạn thẳng ngắn nhất nối M với một điểm bất kỳ trên d. Đoạn thẳng này được gọi là đường vuông góc chung của điểm M và đường thẳng d.
Cho điểm M(x₀, y₀) và đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0, ta có công thức tính khoảng cách từ M đến d như sau:
\(d(M, d) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)
Ví dụ
Cho điểm M(1, 2) và đường thẳng d có phương trình 2x – y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ M đến d.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
\(d(M, d) = |2.1 – 2.2 + 1|/√(2² + (-1)²) = 1/√5\)
Vậy, khoảng cách từ M đến d là 1/√5.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Ta có:
Theo định lý Pytago, ta có:
\(HM² = AM² – AH²\)
Mà \(AM = d(M, d) và AH = d(A, d), ta có:
[latex]d(M, d)² = d(A, d)² + MH²\)
Lại có:
\(d(A, d) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)
Thay vào, ta có:
\(d(M, d)² = |Ax₀ + By₀ + C|²/√(A² + B²) + MH²\)
Vì MH là khoảng cách từ H đến d, ta có:
\(MH = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)
Thay vào, ta có:
\(d(M, d)² = |Ax₀ + By₀ + C|²/√(A² + B²) + |Ax₀ + By₀ + C|²/√(A² + B²)\)
Suy ra:
\(d(M, d) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)\)
Qua bài học này, chúng ta đã tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho các bạn trong việc giải các bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng