Lý thuyết và công thức quan trọng bài hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Nó bao gồm các công thức liên hệ giữa độ dài các cạnh, các góc và diện tích của tam giác. Hệ thức lượng được ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán tam giác, tính toán các yếu tố hình học và giải các bài toán thực tế.

Định lí cosin

  • Tính cạnh của tam giác: Cho hai cạnh và góc xen giữa của tam giác, ta có thể tính cạnh còn lại bằng định lí cosin.
  • Tính diện tích tam giác: Cho ba cạnh của tam giác, ta có thể tính diện tích tam giác bằng công thức Heron.

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Định lí sin

  • Tính góc của tam giác: Cho hai cạnh và góc xen giữa của tam giác, ta có thể tính góc còn lại bằng định lí sin.
  • Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác: Cho ba cạnh của tam giác, ta có thể tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)

Hệ thức diện tích

Tính độ dài đường trung tuyến, đường phân giác trong, đường cao của tam giác: Cho ba cạnh của tam giác, ta có thể tính độ dài đường trung tuyến, đường phân giác trong, đường cao của tam giác.

S = p.r = \[ \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)} \]

Công thức Heron

Tính diện tích tam giác: Cho ba cạnh của tam giác, ta có thể tính diện tích tam giác bằng công thức Heron.

S = \[ \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)} \]

Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

+) ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

+) p = a+b+c/2 là nửa chu vi tam giác;

+) S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

\(S = \frac{1}{2}a.h_a = \frac{1}{2}b.h_b = \frac{1}{2}c.h_c \)

=\( \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ca.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C \)

= \(\frac{abc}{4R} \)

=\( p.r \)

=\[ \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)} \]

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác 

Bài 1: Cho ba cạnh của tam giác, tính các góc của tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính các góc A, B, C.

Giải:

  • Áp dụng định lí cosin, ta có:

cosA = (b² + c² – a²) / 2bc = (5² + 6² – 4²) / 2.5.6 = 1/2

  • Suy ra: A = 60°.
  • Áp dụng định lí sin, ta có:

sinB = a/sinA = 4/sin60° = 4√3/3

  • Suy ra: B = 72,6°.
  • Do đó: C = 180° – A – B = 47,4°.

Bài  2: Cho hai cạnh và góc xen giữa của tam giác, tính cạnh còn lại và các góc còn lại của tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, ∠A = 60°. Tính BC, ∠B, ∠C.

Giải:

  • Áp dụng định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8² – 2.6.8.cos60° = 100

  • Suy ra: BC = 10 cm.
  • Áp dụng định lí sin, ta có:

sinB = a/sinA = 6/sin60° = √3

  • Suy ra: B = 60°.
  • Do đó: C = 180° – A – B = 60°.

Bài  3: Cho một cạnh và hai góc của tam giác, tính các cạnh còn lại và góc còn lại của tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có BC = 8 cm, ∠B = 45°, ∠C = 60°. Tính AB, AC, ∠A.

Giải:

  • Áp dụng định lí sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinB

  • Suy ra: AB = BC.sinC/sinB = 8.sin60°/sin45° = 8√2

  • Áp dụng định lí cosin, ta có:

AC² = BC² + AB² – 2.BC.AB.cosC = 8² + (8√2)² – 2.8.8√2.cos60° = 128

  • Suy ra: AC = 8√2.
  • Do đó: A = 180° – B – C = 75°.

Bài tập trắc nghiệm hệ thức lượng trong tam giác 

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Tính sinA.

A. 3/5

B. 4/5

C. 5/3

D. 5/4

Câu 2: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, ∠A = 60°. Tính BC.

A. 4√3 cm

B. 5 cm

C. 6 cm

D. 8 cm

Câu 3: Cho tam giác ABC có BC = 8 cm, ∠B = 45°, ∠C = 60°. Tính AB.

A.  4√2 cm

B. 4√3 cm

C. 8√2 cm

D. 8√3 cm

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tính cosA.

A. 1/2

B. √3/2

C. -1/2

D. -√3/2

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm. Tính sinB.

A.

B. 4/5

C. 5/3

D. 5/4

Câu 6: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 10 cm, ∠A = 120°. Tính R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

A. 5 cm

B. 6 cm

C. 7 cm

D. 8 cm

Câu 7: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 10 cm, ∠B = 60°. Tính r (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

A. 1 cm

B. 2 cm

C. 3 cm

D. 4 cm

Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm. Tính p (nửa chu vi tam giác ABC).

A. 9 cm

B. 10 cm

C. 11 cm

D. 12 cm

Câu 9: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tính S (diện tích tam giác ABC).

A. 12 cm²

B. 14 cm²

C. 16 cm²

D. 18 cm²

Câu 10: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm. Tính ha (đường cao từ A xuống BC).

A. 6 cm

B. 8 cm

C. 10 cm

D. 12 cm

Hệ thức lượng trong tam giác là một công cụ hữu ích giúp giải quyết nhiều dạng toán tam giác khác nhau. Việc nắm vững các công thức và cách áp dụng hệ thức lượng là rất quan trọng để học tốt môn Toán lớp 10 và các môn học liên quan khác.