Cách giải chi tiết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu và nắm vững kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp các em học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau, từ đó nâng cao khả năng tư duy logic và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Định nghĩa hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi (hệ) bất phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ chứa tối đa hai ẩn x và y, đồng thời không chứa các số hạng như \(x^2, y^2, xy, x^3, x^2y\), …

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ đường thẳng biểu diễn mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bước 2: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình:

  • Bất phương trình dạng \(ax + by ≤ c\): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng (bao gồm cả đường thẳng) chứa điểm O(0; 0) và bị giới hạn bởi đường thẳng \(ax + by = c\).
  • Bất phương trình dạng \(ax + by > c\): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không bao gồm đường thẳng) không chứa điểm O(0; 0) và bị giới hạn bởi đường thẳng \(ax + by = c\)
  • Bất phương trình dạng \(ax + by = c\): Miền nghiệm là đường thẳng \(ax + by = c\).

Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp biểu diễn miền nghiệm

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng biểu diễn mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
  • Bước 2: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình.
  • Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế

  • Cách 1: Cộng đại số các bất phương trình trong hệ để loại bỏ một ẩn.
  • Cách 2: Thế một ẩn vào bất phương trình còn lại để tạo thành một bất phương trình một ẩn.

Ví dụ:

Giải hệ bất phương trình:

  • \(x + y ≤ 2\)
  • \(x – y ≥ 0\)

Cách giải:

Phương pháp biểu diễn miền nghiệm

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d1: x + y = 2 và d2: x – y = 0\).
  • Bước 2: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình:
    • Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y ≤ 2\) là nửa mặt phẳng (bao gồm cả đường thẳng d1) nằm phía dưới đường thẳng d1.
    • Miền nghiệm của bất phương trình \(x – y ≥ 0\) là nửa mặt phẳng (bao gồm cả đường thẳng d2) nằm bên phải đường thẳng d2.
  • Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của hai miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (không bao gồm các cạnh).

Phương pháp cộng đại số:

  • Cộng hai bất phương trình vế theo vế, ta được: 2x ≤ 2.
  • Chia hai vế cho 2, ta được: x ≤ 1.
  • Thay x = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 2, ta được: y ≤ 1.

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là x ≤ 1 và y ≤ 1.

Bài tập có lời giải chi tiết cho bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Giải hệ bất phương trình:

  • x + y ≤ 2
  • x – y ≥ 0

Lời giải:

Cách 1: Biểu diễn miền nghiệm

  • Vẽ đường thẳng d1: x + y = 2 và d2: x – y = 0.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của hai miền nghiệm.
  • Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (không bao gồm các cạnh).

Cách 2: Cộng đại số

  • Cộng hai bất phương trình vế theo vế, ta được: 2x ≤ 2.
  • Chia hai vế cho 2, ta được: x ≤ 1.
  • Thay x = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 2, ta được: y ≤ 1.
  • Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là x ≤ 1 và y ≤ 1.

Bài 2: Giải hệ bất phương trình:

  • 2x + y > 3
  • x – 2y < 4

Lời giải:

Cách 1: Biểu diễn miền nghiệm

  • Vẽ đường thẳng d1: 2x + y = 3 và d2: x – 2y = 4.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của hai miền nghiệm.
  • Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không được tô màu trong hình vẽ.

Cách 2: Cộng đại số

  • Cộng hai bất phương trình vế theo vế, ta được: 3x – y > 7.
  • Vẽ đường thẳng d3: 3x – y = 7.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của hai miền nghiệm.
  • Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không được tô màu trong hình vẽ.

Bài 3: Giải hệ bất phương trình:

  • x + 2y ≤ 5
  • x – y ≥ 0
  • y – x ≤ 1

Lời giải:

Cách 1: Biểu diễn miền nghiệm

  • Vẽ đường thẳng d1: x + 2y = 5, d2: x – y = 0 và d3: y – x = 1.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần chung của ba miền nghiệm.
  • Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (không bao gồm các cạnh).

Cách 2: Cộng đại số

  • Cộng bất phương trình thứ nhất và thứ ba vế theo vế, ta được: 2y ≤ 4.
  • Chia hai vế cho 2, ta được: y ≤ 2.
  • Thay y = 2 vào bất phương trình x + 2y ≤ 5, ta được: x ≤ 1.
  • Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là x ≤ 1 và y ≤ 2.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≥ 1
  • x – 2y ≤ 4

Lời giải:

  • Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.
  • Vẽ các đường thẳng x + y = 1 và x – 2y = 4.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần tứ giác OABC.
  • Xét các điểm A, B, C, O và điểm M(x, y) bất kỳ trong miền nghiệm.
  • Ta thấy P = 2x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A(1, 0).
  • Vậy giá trị nhỏ nhất của P là P = 2.

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – 2y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

  • x + y ≤ 3
  • 2x – y ≥ 0

Lời giải:

  • Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.
  • Vẽ các đường thẳng x + y = 3 và 2x – y = 0.
  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần tứ giác OABC.
  • Xét các điểm A, B, C, O và điểm M(x

Luyện tập

  1. Giải hệ bất phương trình:
  • x + y ≤ 4
  • x – y ≥ 0
  1. Giải hệ bất phương trình:
  • 2x + y > 5
  • x – 2y < 3
  1. Giải hệ bất phương trình:
  • x + 2y ≤ 6
  • x – y ≥ 1
  • y – x ≤ 2
  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:
  • x + y ≥ 2
  • x – y ≤ 0
  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2x – y trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:
  • x + y ≤ 5
  • 2x – y ≥ 2
  1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
  • x + y ≤ 1
  • x – 2y ≥ 4
  1. Giải hệ bất phương trình:
  • |x| + |y| ≤ 2
  • x – y ≥ 0
  1. Giải hệ bất phương trình:
  • |x| + |y| > 3
  • 2x – y ≤ 0
  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |x| + |y| trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:
  • x + y ≥ 1
  • x – y ≤ 1
  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |x| – |y| trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:
  • x + y ≤ 2
  • 2x – y ≥ 0

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và có thể giải quyết các bài tập liên quan một cách hiệu quả.