Kiến thức tổng quát về hàm số và đồ thị của hàm số

Hàm số là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, đóng vai trò nền tảng cho việc học các kiến thức toán học sau này.

Bài học này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ khái niệm hàm số, cách biểu diễn, tính chất và ứng dụng của hàm số trong thực tế.

Khái niệm hàm số

Hàm số: là một quy tắc cho ta biết mỗi giá trị của biến số x (thường gọi là biến số độc lập) tương ứng một giá trị duy nhất của biến số y (thường gọi là biến số phụ thuộc).

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số: là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y.

Bằng bảng:

Liệt kê các giá trị tương ứng của x và y.

Bảng phải có tiêu đề và chú thích rõ ràng.

Bằng công thức: Viết mối liên hệ giữa y và x bằng công thức toán học.

Bằng đồ thị:

Điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Nối các điểm thành đường cong.

Phân loại hàm số

Hàm số bậc nhất:

Là hàm số có dạng \(y = ax + b (a ≠ 0)\).

Đồ thị của hàm số bậc nhất là đường thẳng.

Hàm số bậc hai:

Là hàm số có dạng \(y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)\).

Đồ thị của hàm số bậc hai là đường parabol.

Các dạng bài tập về hàm số và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định hàm số

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa hàm số để xác định xem các trường hợp cho có phải là hàm số hay không.

Lưu ý:

Mỗi giá trị của biến số độc lập chỉ xác định một giá trị của biến số phụ thuộc.

Hàm số có thể được biểu diễn bằng bảng giá trị, công thức hoặc đồ thị.

Ví dụ:

Xác định xem các trường hợp sau có phải là hàm số hay không:

\(y = x^2\) \(y = \frac{1}{x}\) \(y = x + 1 và y = x^2 + 1\)

Dạng 2: Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp giải:

Xác định các giá trị của biến số độc lập làm cho biểu thức của hàm số có nghĩa.

Loại trừ các giá trị làm cho biểu thức của hàm số vô nghĩa.

Ví dụ:

Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{(x-1}\).

Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải:

Lập bảng giá trị.

Xác định các điểm đặc biệt (điểm cắt trục Ox, Oy).

Vẽ đồ thị dựa vào các điểm đặc biệt và bảng giá trị.

Ví dụ:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = x^2 – 2x + 1\).

Dạng 4: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải:

So sánh giá trị của hàm số tại hai điểm có hoành độ khác nhau.

Nếu \(f(x2) > f(x1)\) với \(x2 > x1\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng (x1, x2).

Nếu \(f(x2) < f(x1)\) với \(x2 > x1\) thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng (x1, x2).

Ví dụ:

Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = x^2 + 1\).

Dạng 5: Giải bài toán ứng dụng

Phương pháp giải:

Lập hàm số biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Sử dụng các kiến thức về hàm số để giải bài toán.

Ví dụ:

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Sau 1 giờ 30 phút, một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 75 km/h. Hỏi sau bao lâu xe máy đuổi kịp ô tô?

Bài tập về hàm số và lời giải chi tiết

Bài 1:

Xác định hàm số

a) \(y = x^2\)

b) \(y = \frac{1}{x}\)

c) \(y = x + 1\) và \(y = x^2 + 1\)

Lời giải:

a) \(y = x^2\)

Với mỗi giá trị của x, ta có thể xác định duy nhất một giá trị của y.

Vậy \(y = x^2\) là hàm số.

b) \(y = \frac{1}{x}\)

Với x = 0, biểu thức \(\frac{1}{x}\) không có nghĩa.

Vậy \(y = \frac{1}{x}\) không là hàm số.

c) \(y = x + 1\) và \(y = x^2 + 1\)

Với mỗi giá trị của x, ta có thể xác định duy nhất một giá trị của y.

Vậy \(y = x + 1\) và \(y = x^2 + 1\) là hàm số.

Bài 2:

Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{x-1}\)

Lời giải:

Hàm số \(y = \frac{1}{x-1}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x-1 ≠ 0\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{x-1}\) là D = R{1}.

Bài 3:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = x^2 – 2x + 1\).

Lời giải:

Bước 1: Lập bảng giá trị

x -1 0 1 2
y 4 1 0 3

Bước 2: Xác định các điểm đặc biệt

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0, 1).

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = 1.

Bước 3: Vẽ đồ thị

Dựa vào bảng giá trị và các điểm đặc biệt, ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = x^2 – 2x + 1\) như sau:

Bài 4:

Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = x^2 + 1\).

Lời giải:

Lấy hai giá trị bất kỳ x1 và x2 (x1 < x2) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

\(f(x2) – f(x1) = (x2^2 + 1) – (x1^2 + 1) = x2^2 – x1^2 = (x2 + x1)(x2 – x1)\)

Vì x2 > x1 nên x2 + x1 > 0 và x2 – x1 > 0

Do đó, f(x2) – f(x1) > 0 hay f(x2) > f(x1).

Vậy hàm số \(y = x^2 + 1\) đồng biến trên R.

Bài 5:

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Sau 1 giờ 30 phút, một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 75 km/h. Hỏi sau bao lâu xe máy đuổi kịp ô tô?

Lời giải:

Bước 1: Gọi x là thời gian xe máy đi từ A đến B (x > 1,5).

Bước 2: Quãng đường ô tô đi trong 1 giờ 30 phút là: 60.1,5 = 90 km.

Bước 3: Quãng đường xe máy đi trong x giờ là: 75x.

Bước 4: Vì quãng đường đi từ A đến B là như nhau nên ta có phương trình:

90 + 75x = 60x

Bước 5: Giải phương trình:

15x = 90

x = 6

Vậy sau 6 giờ xe máy đuổi kịp ô tô.

Hy vọng các bạn đã nắm vững khái niệm hàm số, cách biểu diễn, tính chất và ứng dụng của hàm số.