Cách xác định hai mặt phẳng vuông góc trong toán học

Hai mặt phẳng vuông góc là hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau. Khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong chương 7 Hình học 11, là nền tảng cho nhiều bài toán về góc giữa hai mặt phẳng. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Ký hiệu

  • (α) ⊥ (β)

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được coi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi một mặt phẳng có chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại

Cách để xác định hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Cách 1:

  • Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Ta lấy một điểm O bất kỳ và qua đó kẻ đường thẳng a vuông góc với (α) và đường thẳng b vuông góc với (β).

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc (a, b).

Nếu (α) ⊥ (β) thì (a, b) = 90°.

Cách 2:

  • Sử dụng vectơ pháp tuyến:

Cho hai mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n1​​ và (β) có vectơ pháp tuyến n2​​.

Khi đó, (α) ⊥ (β) nếu và chỉ nếu n1​​.n2​​=0.

Định lý hai mặt phẳng vuông góc

Định lý 1:

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Định lý 2:

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (α) thì đường thẳng đi qua A và vuông góc với (β) sẽ nằm trong (α).

Hệ quả

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Các tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Tính chất cơ bản

  • Tính chất 1: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
  • Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và A là một điểm chung của hai mặt phẳng đó thì mọi đường thẳng đi qua A và vuông góc với (α) đều nằm trong (β).

Tính chất liên quan đến giao tuyến

  • Tính chất 3: Giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc là một đường thẳng.
  • Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và d là một đường thẳng nằm trong (α) thì d vuông góc với giao tuyến của (α) và (β).

Tính chất liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng

  • Tính chất 5: Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 90° nếu và chỉ nếu hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
  • Tính chất 6: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng d nằm trong (α) đều tạo với (β) một góc bằng 90°.

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Phương pháp vectơ pháp tuyến

  • Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
  • Bước 2: Chứng minh tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.

Ví dụ:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình lần lượt là:

2x + 3y – z + 1 = 0 x – y + 2z – 2 = 0

  • Vectơ pháp tuyến của (α) là n1​​=(2,3,−1).
  • Vectơ pháp tuyến của (β) là n2​​=(1,−1,2).

Ta có: n1​​.n2​​=2.1+3.(−1)+(−1).2=0.

Vậy hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.

Phương pháp dựa vào tính chất

  • Tính chất 1: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
  • Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và A là một điểm chung của hai mặt phẳng đó thì mọi đường thẳng đi qua A và vuông góc với (α) đều nằm trong (β).

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α. Tính tanα.

Lời giải:

  • Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD).
  • Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC.
  • Tam giác SAC vuông tại A có: AC = √(SA² + AC²) = √(a² + a²) = a√2.
  • Do đó, tanα = AC/BC = a√2/a = √2.

Phương pháp dựa vào góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 90° nếu và chỉ nếu hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Ví dụ:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình lần lượt là:

x + y + z + 1 = 0 x – y + 2z – 2 = 0

Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng để tính được góc giữa (α) và (β) bằng 90°.

Vậy hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.

Bài tập về hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình lần lượt là:

2x + 3y – z + 1 = 0 x – y + 2z – 2 = 0

Chứng minh: Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.

Lời giải:

  • Ta có: n1​​=(2,3,−1) và n2​​=(1,−1,2).
  • Do đó, n1​​.n2​​=2.1+3.(−1)+(−1).2=0.

Vậy hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α. Tính tanα.

Lời giải:

  • Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD).
  • Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC.
  • Tam giác SAC vuông tại A có: AC = √(SA² + AC²) = √(a² + a²) = a√2.
  • Do đó, tanα = AC/BC = a√2/a = √2.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

  1. BE ⊥ (ACD) 
  2. DF ⊥ (ACD) 
  3. DK ⊥ (ABC) 
  4. DK ⊥ (ABD)

Lời giải:

  • Ta có: (ABC) ⊥ (DBC) và (ABD) ⊥ (DBC) ⇒ (ABC) ⊥ (ABD).
  • Do đó, mọi đường thẳng d nằm trong (ABC) và vuông góc với giao tuyến của (ABC) và (ABD) sẽ vuông góc với (ABD).
  • Mà BE và DF nằm trong (ABC) và vuông góc với BC = giao tuyến của (ABC) và (ABD).
  • Vậy BE ⊥ (ABD) và DF ⊥ (ABD).
  • Tiếp theo, ta có: (ABC) ⊥ (DBC) ⇒ DK ⊥ BC.
  • Do đó, DK ⊥ (ABC).

Đáp án: D.

Luyện tập về hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình lần lượt là:

3x – 2y + z + 5 = 0 x + y – 2z – 1 = 0

Chứng minh: Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α. Tính cosα.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh:

  1. a) MN ⊥ (ACD) b) MN ⊥ (BCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh:

  1. a) SH ⊥ (AC) b) SO ⊥ (AC)

Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh:

  1. a) AH ⊥ (BC’A’) 
  2. b) A’H ⊥ (BCC’B’)

Qua bài học này, chúng ta đã tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho các bạn trong việc giải các bài toán liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc.