Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Hiểu rõ về hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này một cách dễ dàng.

Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và tạo thành một góc vuông (góc 90°).

Ký hiệu: a ⊥ b

Tính chất hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có một và chỉ một điểm chung.

Hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Cách vẽ hai đường thẳng vuông góc

Cách 1: Dùng thước kẻ và eke.

Bước 1: Vẽ một đường thẳng.

Bước 2: Đặt eke sao cho cạnh góc vuông của eke trùng với đường thẳng đã vẽ.

Bước 3: Kẻ một đường thẳng dọc theo cạnh huyền của eke.

Cách 2: Dùng thước kẻ và compa.

Bước 1: Vẽ một đường thẳng.

Bước 2: Lấy một điểm bất kỳ trên đường thẳng đã vẽ.

Bước 3: Vẽ một đường tròn tâm O là điểm đã lấy, bán kính bằng một độ dài bất kỳ.

Bước 4: Kẻ một đường thẳng đi qua tâm O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B.

Bước 5: Kẻ một đường thẳng vuông góc với OA tại A.

Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm M của AB.

Ký hiệu: d là đường trung trực của AB.

Các dạng bài tập và phương pháp giải về hai đường thẳng vuông góc lớp 7

Dạng 1: Vẽ hình

Yêu cầu: Vẽ hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng thước kẻ và eke:

Đặt eke sao cho cạnh huyền trùng với một đường thẳng.

Vạch một đường thẳng đi qua vạch chia độ 90° trên eke.

Sử dụng thước kẻ và compa:

Vẽ một đường tròn tâm O với bán kính R.

Vẽ hai đường thẳng đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B.

Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Yêu cầu: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’, chứng minh xx’ ⊥ yy’.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Hai đường thẳng cắt nhau và tạo thành một góc vuông thì vuông góc với nhau.

Sử dụng tính chất: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Dạng 3: Vận dụng

Yêu cầu: Cho các dữ kiện và yêu cầu giải bài toán liên quan đến hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp giải:

Phân tích dữ kiện đề bài và xác định các yếu tố liên quan đến hai đường thẳng vuông góc.

Sử dụng các tính chất và định lí về hai đường thẳng vuông góc để giải bài toán.

Vẽ hình minh họa để bài giải được rõ ràng và dễ hiểu.

Ví dụ:

Dạng 1: Vẽ hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau.

Giải:

Cách 1: Dùng thước kẻ và eke.

Đặt cạnh huyền của eke trùng với xx’.

Vạch một đường thẳng đi qua vạch chia độ 90° trên eke.

Cách 2: Dùng thước kẻ và compa.

Vẽ đường tròn tâm O với bán kính R.

Vẽ hai đường thẳng đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B.

Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.

Dạng 2: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’, biết xx’ // zz’ và yy’ ⊥ zz’. Chứng minh xx’ ⊥ yy’.

Giải:

Vì xx’ // zz’ và yy’ ⊥ zz’ nên xx’ ⊥ yy’.

Dạng 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Giải:

Vẽ trung điểm M của BC.

Dùng thước kẻ và eke vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC.

Bài tập:

Bài tập 1: Vẽ hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng m và n, biết m // p và n ⊥ p. Chứng minh m ⊥ n.

Bài tập 3: Cho tam giác DEF vuông tại D, DE = 5 cm, DF = 12 cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Bài tập có lời giải chi tiết về hai đường thẳng vuông góc lớp 7

Bài tập 1: Vẽ hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.

Giải:

Cách 1: Dùng thước kẻ và eke.

Đặt cạnh huyền của eke trùng với đường thẳng a.

Vạch một đường thẳng đi qua vạch chia độ 90° trên eke. Đường thẳng này chính là đường thẳng b vuông góc với a.

Cách 2: Dùng thước kẻ và compa.

Vẽ một đường tròn tâm O với bán kính R bất kỳ.

Vẽ hai đường thẳng đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B.

Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng m và n, biết m // p và n ⊥ p. Chứng minh m ⊥ n.

Giải:

Vì m // p và n ⊥ p nên hai góc trong cùng phía m và n bù nhau.

Ta có: ∠m + ∠n = 180°

Mà ∠n = 90° (n ⊥ p)

Suy ra: ∠m = 180° – ∠n = 180° – 90° = 90°

Vậy m ⊥ n.

Bài tập 3: Cho tam giác DEF vuông tại D, DE = 5 cm, DF = 12 cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Giải:

Vẽ trung điểm M của EF.

Dùng thước kẻ và eke vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với EF.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vẽ trung điểm M của EF.

Ta có: EF = DE + DF = 5 cm + 12 cm = 17 cm.

Trung điểm M của EF có vị trí cách đều hai đầu mút E và F, nên EM = MF = EF/2 = 17 cm/2 = 8,5 cm.

Bước 2: Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với EF.

Dùng thước kẻ và eke đặt cạnh huyền trùng với EF.

Vạch một đường thẳng đi qua vạch chia độ 90° trên eke. Đường thẳng này chính là đường thẳng d vuông góc với EF tại M.

Kết quả:

Ta đã vẽ được đường trung trực d của đoạn thẳng EF trong tam giác DEF vuông tại D.

Lưu ý:

Khi vẽ hình, cần chú ý vẽ chính xác và rõ ràng.

Khi giải bài tập, cần chú ý đến các tính chất và định lí liên quan đến hai đường thẳng vuông góc và tam giác vuông.

Hai đường thẳng vuông góc là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Nắm vững các dạng bài tập và phương pháp giải về hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng.