Lý thuyết giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ cần nhớ

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình toán lớp 7. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các dạng bài tập thường gặp.

Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, ký hiệu là |x|, là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.

Quy tắc 

Với x ≥ 0: |x| = x.

Với x < 0: |x| = -x.

Tính chất giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

|x| ≥ 0 với mọi x.

|x| = 0 ⇔ x = 0.

|-x| = |x| với mọi x.

|x + y| ≤ |x| + |y| với mọi x, y.

|x.y| = |x|.|y| với mọi x, y.

Các dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ 

Dạng 1: Tính giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:

Ví dụ:

|2| = ?

|-3| = ?

|0| = ?

Dạng 2: So sánh hai số hữu tỉ:

Phương pháp:

So sánh |x| và |y|.

Nếu |x| > |y| thì x > y.

Nếu |x| < |y| thì x < y.

Nếu |x| = |y| thì x = y hoặc x = -y.

Ví dụ:

So sánh 2 và -3.

So sánh 0 và 1.

So sánh 3 và -4.

Dạng 3: Giải bài toán liên quan đến khoảng cách:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất |x – y| là khoảng cách từ điểm x đến điểm y trên trục số.

Biểu diễn bài toán thành một phương trình hoặc bất phương trình.

Giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm nghiệm.

Ví dụ:

Tìm hai số hữu tỉ x và y biết |x – y| = 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 2|.

Dạng 4: Vận dụng giá trị tuyệt đối vào giải bài toán:

Ví dụ:

Tìm x biết |x + 3| = 2.

Giải bất phương trình |x – 1| < 3.

Lưu ý:

Nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc của giá trị tuyệt đối.

Khi so sánh hai số hữu tỉ, cần chú ý đến dấu của hai số đó.

Sử dụng tính chất |x – y| là khoảng cách từ điểm x đến điểm y trên trục số.

Bài tập luyện tập về Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ lớp 7 (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

a) |-2|

b) |3|

c) |0|

d) |-5,5|

Lời giải:

a) |-2| = 2

b) |3| = 3

c) |0| = 0

d) |-5,5| = 5,5

Bài 2: So sánh các số sau:

a) 2 và -3

b) 0 và 1

c) 3 và -4

Lời giải:

a) Ta có: |2| = 2 và |-3| = 3.

Vì 2 < 3 nên 2 < -3.

b) Ta có: |0| = 0 và |1| = 1.

Vì 0 < 1 nên 0 < 1.

c) Ta có: |3| = 3 và |-4| = 4.

Vì 3 < 4 nên 3 < -4.

Bài 3: Tìm hai số hữu tỉ x và y biết:

a) |x – y| = 5

b) |x + 2| = 3

Lời giải:

a) |x – y| = 5 ⇔ x – y = 5 hoặc x – y = -5

Trường hợp 1: x – y = 5 ⇔ x = y + 5

Thay vào |x – y| = 5, ta được: |y + 5 – y| = 5 ⇔ |5| = 5 (luôn đúng)

Trường hợp 2: x – y = -5 ⇔ x = y – 5

Thay vào |x – y| = 5, ta được: |y – 5 – y| = 5 ⇔ |-5| = 5 (luôn đúng)

Vậy, hai số hữu tỉ x và y thỏa mãn |x – y| = 5 là:

x = y + 5 và y ∈ R

x = y – 5 và y ∈ R

b) |x + 2| = 3 ⇔ x + 2 = 3 hoặc x + 2 = -3

Trường hợp 1: x + 2 = 3 ⇔ x = 1

Thay vào |x + 2| = 3, ta được: |1 + 2| = 3 ⇔ |3| = 3 (luôn đúng)

Trường hợp 2: x + 2 = -3 ⇔ x = -5

Thay vào |x + 2| = 3, ta được: |-5 + 2| = 3 ⇔ |-3| = 3 (luôn đúng)

Vậy, hai số hữu tỉ x và y thỏa mãn |x + 2| = 3 là:

x = 1

x = -5

Bài 4: Giải bất phương trình:

a) |x – 1| < 3

b) |x + 2| ≤ 4

Lời giải:

a) |x – 1| < 3 ⇔ -3 < x – 1 < 3

⇔ -2 < x < 4

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình |x – 1| < 3 là S = {x | -2 < x < 4}.

b) |x + 2| ≤ 4 ⇔ -4 ≤ x + 2 ≤ 4

⇔ -6 ≤ x ≤ 2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình |x + 2| ≤ 4 là S = {x | -6 ≤ x ≤ 2}.

Bài tập nâng cao:

Cho hai số hữu tỉ x và y. Chứng minh rằng: |x + y| ≤ |x| + |y|.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 2| + |x – 5|.

Tóm lại, giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ là một khái niệm quan trọng và hữu ích trong Toán học. Nắm vững kiến thức về giá trị tuyệt đối sẽ giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập toán học khác nhau một cách hiệu quả. Bài viết này hy vọng đã cung cấp cho bạn những thông tin cơ bản và đầy đủ về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.