Hệ thống kiến thức đầy đủ về giá trị lượng giác của một góc lớp 10

Lớp 10 là giai đoạn học sinh bắt đầu tiếp cận với khái niệm giá trị lượng giác của một góc. Trong chương trình Toán 10, học sinh sẽ được học về các giá trị lượng giác cơ bản như sin, cos, tan và cot của một góc, cũng như cách tính toán các giá trị này.

Định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM = α và giả sử điểm M có tọa độ M(x₀, y₀).

Giá trị lượng giác của góc α

  • \(Sinα = y₀\)
  • \(Cosα = x₀\)
\(

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y_0}{x_0} \quad (\alpha \neq 90^\circ) \\

\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x_0}{y_0} \quad (\alpha \neq 0^\circ, \alpha \neq 180^\circ)

\)

Hệ thức lượng giác cơ bản

  • \(Sin²α + Cos²α = 1\)
  • \(Tanα = Sinα/Cosα (Cosα ≠ 0)\)
  • \(Cotα = Cosα/Sinα (Sinα ≠ 0)\)

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Góc Sin Cos Tan Cot
0 1 0
30° 1/2 √3/2 √3 1/√3
45° √2/2 √2/2 1 1
60° √3/2 1/2 √3 1/√3
90° 1 0 0
120° √3/2 -1/2 -√3 -1/√3
135° 1/2 -√3/2 -1/√3 -√3
150° -1/2 -√3/2 1/√3 √3
180° 0 -1 0

Tính chất giá trị lượng giác của một góc

  • \(sin(180° – α) = sinα\)
  • \(cos(180° – α) = -cosα\)
  • \(tan(180° – α) = -tanα\)
  • \(cot(180° – α) = -cotα\)

Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc α và β được gọi là bù nhau nếu α + β = 180°.

  • \(Sin: sin(180° – α) = sinα\)
  • \(Cos: cos(180° – α) = -cosα\)
  • \(Tan: tan(180° – α) = -tanα\)
  • \(Cot: cot(180° – α) = -cotα\)

Chứng minh

Chứng minh sin(180° – α) = sinα:

Xét điểm M(x0, y0) trên đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM = α.

Ta có:

  • \(sinα = y0\)
  • \(cosα = x0\)

Gọi M'(x1, y1) là điểm đối xứng của M qua trục Ox.

Ta có:

  • \(∠xOM’ = 180° – α\)
  • \(x1 = x0\)
  • \(y1 = -y0\)

Vì M’ nằm trên đường tròn đơn vị nên:

\(sin(180° – α) = y1 = -y0 = sinα\)

Chứng minh cos(180° – α) = -cosα:

Ta có:

\(cos(180° – α) = x1 = -x0 = -cosα\)

Chứng minh tan(180° – α) = -tanα:

Ta có:

\(tan(180° – α) = sin(180° – α)/cos(180° – α) = sinα/-cosα = -tanα\)

Chứng minh cot(180° – α) = -cotα:

Ta có:

\(cot(180° – α) = cos(180° – α)/sin(180° – α) = -cosα/sinα = -cotα\)

Bài tập về giá trị lượng giác của một góc 

Bài 1: Cho giá trị của một giá trị lượng giác của góc α (0° ≤ α ≤ 180°), tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc α.

Ví dụ:

Cho \( sinα = 1/2, hãy tìm cosα, tanα, cotα.\)

Giải:

  • Vì sinα = 1/2, ta có thể chọn điểm M(x0, y0) trên đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM = α và y0 = 1/2.
  • Ta có: \(x0² + y0² = 1²\), suy ra x0² = 3/4.
  • Vì x0 > 0 (α là góc nhọn), ta có x0 = √3/2.
  • Do đó:
    • \(cosα = x0 = √3/2\)
    • \(tanα = sinα/cosα = 1/√3\)
    • \(cotα = cosα/sinα = √3\)

Bài 2: Cho hai góc α và β bù nhau (α + β = 180°), biết một giá trị lượng giác của một trong hai góc, tìm giá trị lượng giác của góc còn lại.

Ví dụ:

Cho sinα = 1/2, hãy tìm cosβ.

Giải:

Vì α + β = 180°, ta có cosβ = -cos(180° – β) = -cosα = -√3/2.

Bài 3: Chứng minh các hệ thức lượng giác.

Ví dụ:

Chứng minh \(sin²α + cos²α = 1.\)

Giải:

  • Xét điểm M(x0, y0) trên đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM = α.
  • Ta có: \(x0² + y0² = 1², suy ra sin²α + cos²α = 1\).

Bài 4: Giải bài toán hình học bằng cách sử dụng giá trị lượng giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính sinB, cosB, tanB, cotB.

Giải:

Ta có: sinB = AC/BC = 4/5, cosB = AB/BC = 3/5, tanB = sinB/cosB = 4/3, cotB = cosB/sinB = 3/4.

Bài tập trắc nghiệm áp dụng

Câu 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 90°. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  1. sinα > cosα 
  2. sinα < cosα 
  3. sinα = cosα 
  4. sinα ≥ cosα

Câu 2: Cho sin30° = √3/2. Giá trị của cos60° là:

  1. √3/2 
  2. -√3/2 
  3. 1/2 
  4. -1/2

Câu 3: Cho tan45° = 1. Giá trị của cot45° là:

  1. -1 
  2. √2 
  3. -√2

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Giá trị của sinB là:

  1. 3/5 
  2. 4/5 
  3. 5/3 
  4. 5/4

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Giá trị của cosB là:

  1. 3/5 
  2. 4/5 
  3. 5/3 
  4. 5/4

Câu 6: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 90°. Biết sinα = 1/2. Giá trị của cosα là:

  1. √3/2 
  2. -√3/2 
  3. √2/2 
  4. -√2/2

Câu 7: Cho góc α thỏa mãn 90° < α < 180°. Biết cosα = -1/2. Giá trị của sinα là:

  1. √3/2 
  2. -√3/2 
  3. √2/2 
  4. -√2/2

Câu 8: Cho hai góc α và β bù nhau. Biết sinα = 3/5. Giá trị của sinβ là:

  1. 3/5 
  2. -3/5 
  3. 4/5 
  4. -4/5

Câu 9: Cho hai góc α và β bù nhau. Biết cosα = -√2/2. Giá trị của cosβ là:

  1. √2/2 
  2. -√2/2 
  3. 1/2 
  4. -1/2

Câu 10: Cho hai góc α và β bù nhau. Biết tanα = 2. Giá trị của cotβ là:

  1. 1/2 
  2. -1/2 
  3. -2

Đáp án:

  1. B
  2. B
  3. A
  4. B
  5. A
  6. C
  7. B
  8. D
  9. A
  10. D

Hiểu rõ về giá trị lượng giác của một góc là một nền tảng quan trọng để học sinh tiếp tục học tập các môn toán học và khoa học ở các cấp học cao hơn. Bài viết này hy vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về giá trị lượng giác của một góc lớp 10.