Đơn thức là một trong những nội dung quan trọng của môn Toán lớp 7. Việc học tập và nắm vững kiến thức về đơn thức giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Khái niệm đơn thức
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Ví dụ:
2x là đơn thức.
\(-3x^2y\) là đơn thức.
5 là đơn thức.
Hệ số và phần biến
Hệ số của đơn thức là số thực đứng trước phần biến.
Phần biến của đơn thức là tích của các biến (nếu có).
Ví dụ:
Trong đơn thức 2x, 2 là hệ số và x là phần biến.
Trong đơn thức \(-3x^2y\), -3 là hệ số và \(x^2y\) là phần biến.
Bậc của đơn thức
Bậc của đơn thức là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức.
Ví dụ:
Bậc của đơn thức 2x là 1.
Bậc của đơn thức \(-3x^2y là 3\).
Đơn thức đồng dạng
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến.
Ví dụ:
2x và 3x là hai đơn thức đồng dạng.
\(-3x^2y\) và \(5x^2y\) là hai đơn thức đồng dạng.
Cộng trừ đơn thức đồng dạng
Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.
Ví dụ:
2x + 3x = 5x.
\(-3x^2y + 5x^2y = 2x^2y\).
Nhân đơn thức
Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số của hai đơn thức với nhau và nhân các phần biến của hai đơn thức với nhau.
Ví dụ:
\((2x)(3x) = 6x^2\)
\((-3x^2y)(5x^2y) = -15x^4y^2\)
Chia đơn thức
Để chia hai đơn thức, ta chia hệ số của đơn thức thứ nhất cho hệ số của đơn thức thứ hai và chia phần biến của đơn thức thứ nhất cho phần biến của đơn thức thứ hai (với điều kiện phần biến của đơn thức thứ hai khác 0).
Ví dụ:
\((6x^2)/(2x) = 3x\)
\((-15x^4y^2)/(-5x^2y) = 3x^2y\).
Phân loại đơn thức
Đơn thức thu gọn: là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Đơn thức đồng dạng: là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Tính chất của đơn thức
Tính chất giao hoán:
\(a + b = b + a\)
\(a – b = b – a\)
Tính chất kết hợp:
\((a + b) + c = a + (b + c)\)
\((a – b) – c = a – (b + c)\)
Tính chất phân phối:
\(a(b + c) = ab + ac\)
\(a(b – c) = ab – ac\)
Bài tập có lời giải chi tiết về đơn thức
Dạng bài tập: Phân loại đơn thức
Đề bài: Cho các biểu thức sau:
\(A = 3x^2y\)
\(B = -5x^2\)
C = 1
\(D = x^2 + 2xy\)
\(E = 3x^2y + 2x^2y^2\)
Hãy phân loại các biểu thức trên thành đơn thức thu gọn và đơn thức không thu gọn.
Lời giải:
Đơn thức thu gọn:
\(A = 3x^2y\)
\(B = -5x^2\)
C = 1
Đơn thức không thu gọn:
\(D = x^2 + 2xy\)
\(E = 3x^2y + 2x^2y^2\)
Dạng bài tập: Tính giá trị của đơn thức
Đề bài: Tính giá trị của đơn thức \(3x^2y\) tại x = 2 và y = -1.
Lời giải:
Thay x = 2 và y = -1 vào đơn thức \(3x^2y\), ta được:
\(3 * 2^2 * (-1) = -12\)
Vậy giá trị của đơn thức \(3x^2y\) tại x = 2 và y = -1 là -12.
Dạng bài tập: Cộng, trừ đơn thức
Đề bài: Cộng hai đơn thức \(3x^2y\) và \(-2x^2y\).
Lời giải:
Ta có:
\(3x^2y + (-2x^2y) = (3 – 2)x^2y = x^2y\)
Dạng bài tập: Ứng dụng
Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m. Diện tích mảnh vườn là \(54m^2\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Lời giải:
Bước 1: Gọi chiều dài mảnh vườn là x (m) (x > 3).
Bước 2: Biểu thị chiều rộng mảnh vườn theo x.
Bước 3: Lập biểu thức đại số biểu thị diện tích mảnh vườn.
Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm x và y.
Vậy chiều dài mảnh vườn là 9m, chiều rộng mảnh vườn là 6m.
Luyện tập
Bài 1: Cộng, trừ các đơn thức sau:
a) \(3x^2y^2 + 2x^2y^2 – x^2y^2\)
b) \(5x^3y^2 – 3x^3y^2 + 2x^3y^2\)
Bài 2. Tìm đơn thức thích hợp để điền vào chỗ trống:
a)\( … + 7x^2y = 10x^2y\)
b) \(5x^3y^2 – … = 2x^3y^2\)
Bài 3. Cho đơn thức \(A = 3x^2y^3\). Hãy viết đơn thức B đồng dạng với đơn thức A và có giá trị bằng -6 tại x = 1 và y = 2.
Bài 4. Cho hai đơn thức \(A = 3x^2y^2 và B = -2x^3y^2\). Tìm đơn thức C sao cho A + C = B.
Bài 5. Cho ba đơn thức \(M = 5x^2y^3, N = -3x^2y^3\) và \(P = 2x^2y^3\). Tìm đơn thức Q sao cho M + N + Q = 0.
Việc học tập và nắm vững kiến thức về đơn thức là rất quan trọng để học tốt môn Toán lớp 7 và các lớp tiếp theo.
