Độ lệch chuẩn là một khái niệm thống kê được dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập hợp dữ liệu so với giá trị trung bình của nó. Trong chương trình lớp 10, học sinh thường được giới thiệu khái niệm này trong bài học về thống kê.
Khái niệm độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn là một đại lượng thống kê đo mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với giá trị trung bình của tập dữ liệu đó.
Độ lệch chuẩn (thường được ký hiệu là σ hoặc s) đo lường mức độ “rải rác” của các số liệu trong một tập dữ liệu so với giá trị trung bình (mean) của chúng.
Công thức tính độ lệch chuẩn
\(SD = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \overline{x})^2}\)
Trong đó:
– SD là độ lệch tiêu chuẩn
– xi là kết quả quan sát thứ i của mẫu
– x là giá trị trung bình của các quan sát này
– n là số lượng quan sát trong mẫu.
Các bước tính độ lệch chuẩn
Tính trung bình
Để tính giá trị trung bình, ta cộng tổng các giá trị trong bộ dữ liệu cho tổng số giá trị có trong bộ dữ liệu đó. Ví dụ: Cho tập hợp các điểm kiểm tra là: 10, 8, 10, 8, 8 và 4. => Tính giá trị trung bình: Tổng các số là 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. Do có tổng cộng 6 số liệu trong tập hợp này, kết quả trung bình là 48/6 = 8.
Tính phương sai
Tính phương sai gồm các bước sau:
– Bước 1: Lấy giá trị trung bình đã tính ở bước trước trừ đi từng giá trị cụ thể trong bộ dữ liệu để tính khoảng cách của mỗi giá trị so với giá trị trung bình.
– Bước 2: Bình phương các kết quả thu được ở bước 1.
– Bước 3: Tính tổng các giá trị bình phương thu được ở bước 2.
– Bước 4: Chia tổng bình phương cho tổng số giá trị trừ đi 1 để tính phương sai.
Ví dụ với tập hợp các điểm kiểm tra 10, 8, 10, 8, 8 và 4, và giá trị trung bình là 8, ta có:
– Khoảng cách so với giá trị trung bình: 2, 0, 2, 0, 0, 4.
– Bình phương các khoảng cách: 4, 0, 4, 0, 0, 16.
– Tổng các giá trị bình phương: 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
– Phương sai: 24/(6-1) = 4.8.
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn được tính bằng căn bậc hai của phương sai. Với giá trị phương sai là 4.8 trong bộ dữ liệu ban đầu, ta có:
– Độ lệch chuẩn: √4.8 ≈ 2.19.
Ý nghĩa của độ lệch chuẩn
- Độ lệch chuẩn cho biết mức độ chênh lệch của các giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình.
- Độ lệch chuẩn càng lớn:
- Các giá trị trong tập dữ liệu càng phân tán xa giá trị trung bình.
- Dữ liệu càng không đồng nhất.
- Độ lệch chuẩn càng nhỏ:
- Các giá trị trong tập dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.
- Dữ liệu càng đồng nhất.
Ví dụ về độ lệch chuẩn
Ví dụ 1: Giả sử chúng ta có các số: 5, 7, 3 và 7, tổng của chúng = 22.
Lấy 22 chia cho số lượng các số, trong trường hợp này là 4 được 5,5.
Chúng ta có trung bình là: x̄ = 5,5 và N = 4.
Phương sai sẽ được xác định bằng cách trừ mỗi số cho giá trị trung bình. Theo đó, lần lượt các kết quả là: -0,5, 1,5, -2,5 và 1,5. Lấy các giá trị đó bình phương lên, kết quả: 0,25, 2,25, 6,25 và 2,25. Tiếp đến, cộng các giá trị bình phương sau đó chia cho giá trị N trừ 1, bằng 3. => Cho kêt quả phương sai xấp xỉ = 3,67. Căn bậc hai của phương sai có độ lệch chuẩn là khoảng 1.915.
Ví dụ 2:
Giả sử ta có một tập dữ liệu gồm 5 giá trị: 2, 4, 6, 8, 10.
- Giá trị trung bình: x = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
- Phương sai: \(S^2 = ((2 – 6)^2 + (4 – 6)^2 + (6 – 6)^2 + (8 – 6)^2 + (10 – 6)^2) / (5 – 1) = 8\)
- Độ lệch chuẩn: S = √8 = 2,828
Bài tập có lời giải chi tiết
Bài 1:
Cho bảng phân bố tần số sau:
| Giá trị | Tần số |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
| 4 | 4 |
Hãy tính:
- a) Số trung bình cộng. b) Phương sai. c) Độ lệch chuẩn.
Lời giải:
- a) Số trung bình cộng:
x = (1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.4) / 19 = 2,74
- b) Phương sai:
\(S^2 = ((1 – 2,74)^2.3 + (2 – 2,74)^2.5 + (3 – 2,74)^2.7 + (4 – 2,74)^2.4) / (19 – 1) = 0,573\)
- c) Độ lệch chuẩn:
\(S = √S^2 = √0,573 ≈ 0,76\)
Bài 2:
Kết quả bài kiểm tra môn Toán của một lớp học được ghi lại như sau:
| Điểm | Số lượng học sinh |
| 4 | 2 |
| 5 | 3 |
| 6 | 7 |
| 7 | 5 |
| 8 | 3 |
Hãy tính:
a) Số trung bình cộng.
b) Phương sai.
c) Độ lệch chuẩn.
Lời giải:
- a) Số trung bình cộng:
x = (4.2 + 5.3 + 6.7 + 7.5 + 8.3) / 20 = 6,4
- b) Phương sai:
\(S^2 = ((4 – 6,4)^2.2 + (5 – 6,4)^2.3 + (6 – 6,4)^2.7 + (7 – 6,4)^2.5 + (8 – 6,4)^2.3) / (20 – 1) = 2,24\)
- c) Độ lệch chuẩn:
\(S = √S^2 = √2,24 ≈ 1,5\)
Bài 3:
Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia. Số điểm đạt được sau mỗi lần bắn được ghi lại trong bảng sau:
| Điểm | Số lần bắn |
| 7 | 5 |
| 8 | 10 |
| 9 | 9 |
| 10 | 6 |
Hãy tính:
a) Số trung bình cộng.
b) Phương sai.
c) Độ lệch chuẩn.
Lời giải:
- a) Số trung bình cộng:
x = (7.5 + 8.10 + 9.9 + 10.6) / 30 = 8,6
- b) Phương sai:
\(S^2 = ((7 – 8,6)^2.5 + (8 – 8,6)^2.10 + (9 – 8,6)^2.9 + (10 – 8,6)^2.6) / (30 – 1) = 1,44\)
- c) Độ lệch chuẩn:
\(S = √S^2 = √1,44 ≈ 1,2\)
Luyện tập
Bài tập 1:
Cho tập hợp các điểm số của 10 học sinh trong một bài kiểm tra: 7, 8, 9, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10. Tính độ lệch chuẩn của tập hợp này.
Bài tập 2:
Trong một lớp học, điểm số của 20 học sinh trong một bài kiểm tra là: 15, 16, 17, 15, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 14, 15, 16, 17. Hãy tính độ lệch chuẩn của tập hợp này.
Bài tập 3:
Cho dãy số sau đây đại diện cho số giờ mà 10 học sinh dành cho việc học hàng ngày: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8. Tính độ lệch chuẩn của dãy số này.
Bài tập 4:
Trong một quận, số lượng ô tô đi qua một điểm kiểm soát giao thông mỗi giờ trong 7 ngày là: 120, 130, 110, 140, 150, 125, 135. Tính độ lệch chuẩn của tập hợp số lượng ô tô này.
Bài tập 5:
Trong một dự án nghiên cứu, thời gian thực hiện từng bước công việc (tính bằng giờ) là: 6, 8, 7, 9, 10, 5, 6, 7, 8. Hãy tính độ lệch chuẩn của dãy số này.
Tóm lại, độ lệch chuẩn là một công cụ thống kê quan trọng giúp đo lường mức độ phân tán của dữ liệu. Nắm vững kiến thức về độ lệch chuẩn sẽ giúp bạn học tốt môn Toán lớp 10 và giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
