Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Trong bài viết này, toanhoc.edu.vn sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi toán THPT quốc gia 2022, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi của mình.
Đề thi toán THPT quốc gia 2022
Mã đề 104
Đáp án chi tiết
Câu 1:
Để phần áo của một số phức bằng phần ảo của số phức -1-4i, ta cần chọn số phức có phần thực bằng phần thực của -1-4i và phần ảo bằng phần ảo của -1-4i.
\(\text{Phần thực của } -1-4i \text{ là } -1.\)
Phần ảo của -1-4i là -4.
Vậy, số phức mà chúng ta tìm có dạng z = -1 – 4i.
Xét từ các đáp án đã cho:
A. z = 5 – 4i. Phần ảo của z là -4, khớp với phần ảo của z.
B. z = 1 + 4i Phần ảo của z là 4, không khớp với phần ảo của z.
C. z = 1 – 5i. Phần ảo của z là -5, không khớp với phần ảo của z.
D. z = 3 + 4i. Phần ảo của z là 4, không khớp với phần ảo của z.
Do đó, đáp án là A. z = 5 – 4i.
Câu 2:
Chọn C
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là (-1;-1)
Câu 3:
Chọn B
z= (2-i)(i+1)=3+i
Do đó phần ảo của số phức là 1.
Câu 4:
Để tính \(\int_{-1}^{5} f(x)\, dx\), ta có thể tách nó thành hai phần và sử dụng các thông tin đã cho:
\(\int_{-1}^{5} f(x) \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 2 + (-5) = -3.\)
Chọn B
Câu 5:
Để tính thể tích của khối chóp
S.ABC, chúng ta sử dụng công thức:
V = ⅓ x Diện tích đáy x chiều cao
Cho trường hợp này, diện tích đáy ABC là 6 và chiều cao là 5. Thay vào công thức, ta có:
V=⅓ ×6×5=10
Vậy thể tích của khối chóp
S.ABC là 10.
Đáp án là B.
Câu 6:
Để tính tỉ số của hai thể tích V1 và V2, chúng ta cần biết rằng thể tích của một khối chóp được tính bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao của nó. Tương tự, thể tích của một khối lăng trụ cũng được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Vậy nếu diện tích đáy và chiều cao của cả khối chóp và khối lăng trụ là bằng nhau, tỉ số V1/V2 sẽ bằng tỉ lệ giữa diện tích đáy của khối chóp và khối lăng trụ, vì tỉ số giữa hai thể tích sẽ bị hủy bớt.
Do đó, tỉ số V1/V2 sẽ bằng tỉ số giữa diện tích đáy của khối chóp và khối lăng trụ. Vì diện tích đáy và chiều cao của cả hai là bằng nhau, tỉ số diện tích đáy sẽ bằng tỉ số thể tích.
Vậy, câu trả lời chính xác là D.
Câu 7:
Để tính \log(100a), chúng ta sử dụng các tính chất của logarit:
\log(ab)=\log(a)+\log(b)
Áp dụng tính chất trên, ta có:
\log(100a) = \log(100) + \log(a)
Vì \log(100)=2, ta có:
\log(100a)=2+\log(a)
Vậy, câu trả lời là B.2+\log(a).
Câu 8:
Chọn C
Câu 9:
\(2^{(x^2 + 1)} = 4\)
Chuyển phương trình về dạng mũ:
\(2^{(x^2 + 1)} =2^2\)
Do cơ số của cả hai mặt phương trình đều là 2, ta có thể loại bỏ dấu mũ và giải phương trình bậc hai:
\(x^2+1=2\)
Giải phương trình bậc hai:
\(x^2=2-1\)
\(x^2=1\)
\(x= \pm \sqrt{1}\)
\(x= \pm 1\)
Câu 10:
Để giải bài toán này, ta cần nhớ rằng mặt phẳng Oxy là mặt phẳng mà các điểm trên đều có tọa độ z bằng 0.
Vậy, phương trình của mặt phẳng Oxy sẽ là z=0.
Do đó, đáp án là D. z=0.
Câu 11:
Chọn C
\(f(x) = (F(x))’ = (\cot(x))’ = -\frac{1}{\sin^2(x)}\)
Câu 12:
Chọn D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0)
Câu 13:
Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng \( d \), chúng ta cần thay tọa độ của từng điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem liệu phương trình với tọa độ đó có đúng hay không.
Phương trình của đường thẳng \( d \) đã được cho là:
\[\frac{x – 2}{1} = \frac{y – 1}{-2} = \frac{z + 1}{3}\]
Để kiểm tra xem điểm \( P(2, 1, -1) \) thuộc đường thẳng hay không, ta thay \( x=2 \), \( y=1 \), và \( z=-1 \) vào phương trình đường thẳng:
\[\frac{2 – 2}{1} = \frac{1 – 1}{-2} = \frac{-1 + 1}{3}\]
\[0 = 0 = 0\]
Điều này đúng, vì vậy điểm \( P \) thuộc đường thẳng \( d \).
Tương tự, ta có thể kiểm tra từng điểm còn lại và thấy rằng chỉ có điểm \( P \) thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Vậy, câu trả lời là \( A. P(2, 1, -1) \).
Câu 14:
Để biểu diễn số phức z=2+7i trên mặt phẳng tọa độ, ta sử dụng phần thực và phần ảo của số phức làm các tọa độ của điểm tương ứng.
Vậy, tọa độ của điểm biểu diễn số phức z=2+7i trên mặt phẳng tọa độ là (2,7).
Do đó, câu trả lời là D. (2,7).
Câu 15:
Để kiểm tra xem điểm M có nằm ngoài mặt cầu S(O,R) hay không, chúng ta so sánh khoảng cách từ M đến tâm O (được biểu diễn bằng độ dài OM) với bán kính R của mặt cầu.
Nếu OM<R, điểm M nằm bên trong mặt cầu.
Nếu OM=R, điểm M nằm trên mặt cầu.
Nếu OM>R, điểm M nằm ngoài mặt cầu.
Nên, câu trả lời là C.OM>R.
Câu 16:
Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ công thức tích phân cơ bản của hàm số mũ:
\[\int e^x \, dx = e^x + C\]
Vậy, câu trả lời là \( A. \int e^x \, dx = e^x + C \).
Câu 17:
Để tìm tọa độ của vectơ \( \mathbf{u} + 3\mathbf{v} \), ta cần thực hiện phép cộng vectơ theo từng chiều tương ứng.
Cho vectơ \( \mathbf{u} = (1, 4, 0) \) và \( \mathbf{v} = (-1, -2, 1) \), ta tính \( \mathbf{u} + 3\mathbf{v} \) như sau: \( \mathbf{u} + 3\mathbf{v} = (1, 4, 0) + 3(-1, -2, 1) = (1 – 3, 4 – 6, 0 + 3) = (-2, -2, 3) \)
Vậy, tọa độ của vectơ \( \mathbf{u} + 3\mathbf{v} \) là \( (-2, -2, 3) \).
Do đó, câu trả lời là \( D. (-2, -2, 3) \).
Câu 18:
Để tính số hạng tổng quát \( U_n \) của một cấp số nhân, chúng ta sử dụng công thức tổng quát:
\[U_n = U_1 \cdot q^{n-1}\]
Ở đây, \( U_1 = 3 \) và \( q = 2 \), vì đề bài đã cho biết cấp số nhân có công bội là \( q = 2 \).
Áp dụng vào công thức, ta có:
\[U_n = 3 \cdot 2^{n-1}\]
Đáp án: D
Câu 19
Chọn đáp án D
Câu 20
Để tính thể tích của một khối nón, chúng ta sử dụng công thức:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 3a^2 \times 2a = 2a^3 \]
Vậy, câu trả lời là \( C. 2a^3 \).
Câu 21
Để tính giá trị của \(\int_0^3 \left[\frac{1}{3} f(x) + 2\right] \, dx\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất tổng hợp của tích phân:
\[\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx\]
\[\int_{0}^{3} \left[ \frac{1}{3}f(x) + 2 \right] dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} 2 \, dx\]
Với \(\int_{0}^{3} 2 \, dx\) ta có thể tính trực tiếp được:
\[\int_{0}^{3} 2 \, dx = 2x \Big|_{0}^{3} = 2(3) – 2(0) = 6\]
Do đó:
\[\int_{0}^{3} \left[ -\frac{1}{3} f(x) + 2 \right] dx = -\frac{1}{3} \int_{0}^{3} f(x) \, dx + 6\]
Theo giả thiết:
\[\int_{0}^{3} \left[ -\frac{1}{3} f(x) + 2 \right] dx = -\frac{1}{3} (6) + 6 = 2 + 6 = 8\]
Vậy, đáp án là \( D. 8 \).
Câu 22:
Để giải bài toán, ta cần xác định tập xác định của hàm số \(y = \log_{2}(x – 1)\).
Tập xác định của hàm số logarithm \(y=\log_{a}(x)\) là tất cả các giá trị của \(x\) sao cho \(x>0\), vì đối với hàm logarit, số cần lấy logarit phải là một số dương.
Trong trường hợp này, ta cần giải phương trình \(x-1>0\) để xác định tập xác định của hàm số: \(x-1>0\)
Suy ra: \(x>1\)
Vậy, tập xác định của hàm số là \((1; +\infty)\), tức là đáp án là \(D. (1; +\infty)\).
Câu 23
Chọn \(A\)
Giá trị cực tiểu \(y_{ct} = 3\)
Câu 24
Để giải phương trình \(\log_{\frac{1}{2}} (2x – 1) = 0\), ta sử dụng định nghĩa logarit:
\[\log_{a}(b) = c \quad \text{khi và chỉ khi} \quad a^{c} = b.\]
Ở đây, ta có:
\[\log_{\frac{1}{2}} (2x – 1) = 0\], nghĩa là \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 2x – 1\).
Tức là \(1=2x−1\).
Giải phương trình này ta có:
\[1=2x−1\]
\[2x=2\]
\[x=1\]
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\). Do đó, đáp án là \(A. x=1\).
Câu 25
Chọn \(C\)
Ta có \(\lim_{x \to 2^+} f(x)\) và \(\lim_{x \to 2^-} f(x)\) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x= -2\).
Câu 26
Mặt cầu có phương trình
\[(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = 4\]
Trong đó, tâm của mặt cầu là điểm có tọa độ là \((x_0, y_0, z_0)\), và bán kính của mặt cầu \(r=2\).
Để tìm tọa độ của tâm, ta lấy các hệ số của \(x\), \(y\), \(z\) trong phương trình của mặt cầu:
Để giải hệ phương trình sau:
\[\left\{
\begin{array}{l}
x_0 – 2 = 0 \\
y_0 + 1 = 0 \\
z_0 – 3 = 0
\end{array}
\right.\]
Chúng ta thực hiện như sau:
\[\left\{
\begin{array}{l}
x_0 = 2 \\
y_0 = -1 \\
z_0 = 3
\end{array}
\right.\]
Vậy, tọa độ của tâm là \((2; -1; 3)\).
Chọn đáp án \(D\).
Câu 27:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được 5!= 120 số tự nhiên đôi một khác nhau.
Chọn đáp án C
Câu 28:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y=1 là 3.
Chọn đáp án C
Câu 29
Ta có AC’ là đường chéo hình lập phương \( ABCD.A’B’C’D’ \) nên \( AC’ = AB\sqrt{3} \)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
CC’ \perp (ABCD) \\
\angle (AC’,(ABCD)) = \angle AC’, \sin\angle AC’ = \frac{CC’}{AC’} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\end{array}
\right.
\]
Chọn đáp án A.
Câu 30
– Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn [30;50] có \( \Omega = 21 \).
– Gọi A là biến cố “chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn hàng chục”.
\( ab \) là số cần tìm.
TH1: khi \( a = 3 \) \( \rightarrow \) \( b \) có 6 cách chọn.
TH2: khi \( a = 4 \) \( \rightarrow \) \( b \) có 5 cách chọn.
\( \Rightarrow n_A = 6 + 5 = 11 \)
\( P_A = \frac{n_A}{\Omega} = \frac{11}{21} \).
Câu 31
Ta có \(\log_a \frac{1}{b^3} = \log_a b^{-3} = -3 \log_a b = 3 \log_b a\)
Chọn đáp án D.
Câu 32
Hàm số được cho là \( f(x) = 1 + e^{2x} \). Ta cần xác định công thức tích phân của hàm số này để kiểm tra các khẳng định.
Để tính tích phân không xác định của hàm số \( f(x) \), ta sử dụng quy tắc tích phân của hàm mũ:
\[
\int e^{u} du = e^{u} + C
\]
Ở đây, \( u \) có thể là một hàm số của \( x \), trong trường hợp này, \( u = 2x \). Vì vậy:
\[
\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
\]
Do đó, tích phân của \( 1 + e^{2x} \) sẽ là:
\[
\int (1 + e^{2x}) dx = \int 1 dx + \int e^{2x} dx = x + \frac{1}{2}e^{2x} + C
\]
Câu 33
Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tìm ra giá trị của \( Z_1 \) và \( Z_2 \), hai nghiệm phức của phương trình \( Z^2 – 2Z + 5 = 0 \).
Để giải phương trình bậc hai có hệ số phức, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát:
\[ Z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = 5 \). Thay vào đó:
\[ Z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \]
\[ \frac{2 \pm \sqrt{4 – 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} \]
Vì \( \sqrt{-16} = 4i \), nên ta có:
\[ Z_1 = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i \]
\[ Z_2 = \frac{2 – 4i}{2} = 1 – 2i \]
Bây giờ ta tính \( Z_1^2 + Z_2^2 \):
Để tính \( Z_1^2 + Z_2^2 \), ta có:
\[
\begin{align*}
Z_1^2 + Z_2^2 &= (1 + 2i)^2 + (1 – 2i)^2 \\
&= (1 + 4i + 4i^2) + (1 – 4i + 4i^2) \\
&= (1 + 4i – 4) + (1 – 4i – 4) \\
&= -3 + 4i + -3 – 4i \\
&= -6
\end{align*}
\]
Vậy \( Z_1^2 + Z_2^2 = -6 \).
Đáp án là: \( -6 \) (không có trong các lựa chọn). Có thể có sự nhầm lẫn trong câu hỏi hoặc các lựa chọn đã được cung cấp.
Câu 34
Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng.
Với \( f'(x) = x + 1 \), ta thấy rằng \( f'(x) \) là một đa thức bậc nhất và dấu của nó thay đổi tại \( x = -1 \).
Trên khoảng \( (-\infty, -1) \), \( f'(x) \) là số âm, do đó \( f(x) \) là một hàm giảm trên khoảng này.
Tại \( x = -1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, điều này cho biết rằng \( f(x) \) có một điểm cực tiểu cục bộ tại \( x = -1 \).
Trên khoảng \( (-1, +\infty) \), \( f'(x) \) là số dương, do đó \( f(x) \) là một hàm tăng trên khoảng này.
Vậy, hàm số \( f(x) \) là nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \).
Chọn đáp án D. \( (-\infty, -1) \)
Câu 35
Để tìm phương trình của một cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (a) đã cho, ta cần tìm bán kính của cầu và sau đó sử dụng điều kiện tiếp xúc để xác định phương trình cầu.
Bán kính R của cầu bằng khoảng cách từ tâm A đến mặt phẳng (a). Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta sử dụng công thức:
\[ \text{Khoảng cách} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
Trong đó, \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm, và phương trình mặt phẳng là \(Ax + By + Cz + D = 0\).
Ở đây, tâm của cầu là \(A(1, 2, 3)\), và phương trình của mặt phẳng là \(x – 2y + 2z + 3 = 0\). Vậy:
\[ A = 1, B = -2, C = 2, D = 3 \]
\[ \text{Khoảng cách} = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} \]
\[ = \frac{|1 – 4 + 6 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \]
\[ = \frac{|6|}{\sqrt{9}} \]
\[ = \frac{6}{3} \]
\[ = 2 \]
Vậy bán kính của cầu là \( R = 2 \).
Và phương trình của một cầu với tâm là \( A(1, 2, 3) \) và bán kính \( R = 2 \) là:
\[ (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 2^2 \]
Đáp án là: A. \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 4 \).
Câu 36
Số nghiệm của phương trình \( f(x) = m \) là số giao điểm của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) và đường thẳng \( y = m \).
Dựa vào đồ thị, phương trình \( f(x) = m \) có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi \( m = -2 \) hoặc \( m > -1 \).
Do \( m \in \left[ -2; 5 \right] \) nên \( m \in \{ -2; 0; 1; 2; 3; 4; 5 \} \).
Câu 37
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng \(P : 2x – 3y – z + 1 = 0\), chúng ta cần tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(P\) và sau đó sử dụng tính chất của vecto pháp tuyến để tìm hướng của đường thẳng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(P\) là \(\vec{N} = (2, -3, -1)\)
Để tìm phương trình của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(P\) và đi qua điểm M \( (2; -2; 1) \), ta sử dụng tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: hướng của đường thẳng này sẽ trùng với vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(P\).
Vậy phương trình của đường thẳng là:
\[
\frac{x – 2}{2} = \frac{y + 2}{-3} = \frac{z – 1}{-1}
\]
Hoặc viết dưới dạng phương trình tham số:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \\
y = -2 – 3t \\
z = 1 – t
\end{array}
\right.
\]
Chọn đáp án C.
Câu 38
Chọn đáp án B
Câu 39
Chọn đáp án D
Câu 40
Ta có: \(f'(x) = 4x[(a + 3)x – a],\, \forall x \in \mathbb{R}\).
Do \(\max_{[0;3]} f(x) = f(2)\) nên \(f'(2) = 0 \Rightarrow 3a + 12 = 0 \Rightarrow a = -4\).
Kiểm tra lại: \(a = -4\) thì \(f'(x) = -x^4 + 8x^2 + 1\) liên tục trên \([0;3]\).
Ta có: \(F'(x) = -4x^4 + 16x\) và \(F'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [0;3]\).
\[
\left\{
\begin{array}{l}
F'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [0;3]\\
x = 2 \in [0;3] \\
x = -2 \notin [0;3]
\end{array}
\right.
\]
Ta có: \(f(2) = 17, f(0) = 1\) và \(f(3) = -8\).
Suy ra: \(\max_{[0;3]} f(x) = f(2) = 17\) và \(\min_{[0;3]} f(x) = f(3) = -8\).
Chọn đáp án D.
Câu 41
Do \(F'(x)\) và \(G'(x)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Nên \(F'(x) – G'(x) = C\) với \(C\) là hằng số.
Ta có \(S = \int_0^2 |f'(x) – G'(x)| \,dx = \int_0^2 |C| \,dx = 2|C| = 6\) suy ra \(|C| = 3\).
Ta lại có: \(F'(0) – G(0) = C\) suy ra \(F'(0) = G(0) + C\).
Theo đề bài: \(\int_0^2 f'(x) \,dx = f(2) – f(0) = F'(2) – G(0) + C = F'(2) – G(0) – |C| = F'(2) – G(0) – 3\).
Suy ra: \(a = -C\) mà \(a > 0\) nên \(C < 0\).
Từ đó suy ra: \(C = -3\) suy ra \(a = -C = 3\).
Vậy \(a = 3\).
Chọn đáp án C.
Câu 42
Ta có \(2 |z_1| = |z_2| = |z_3|\) suy ra
\[
\left\{
\begin{array}{l}
|z_1| = 1 \\
|z_3| = 2
\end{array}
\right.
\]
\(A, B, C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \(z_1, z_2, z_3\) trên mặt phẳng tọa độ nên \(A, B\) thuộc đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R = 1\); Điểm \(C\) thuộc đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(r = 2\).
Lại có \((z_1 + z_2)z_3 = z_1z_3^2\), nên \(|z_1 + z_2| = |z_3| = |z_1z_3| = |z_1| |z_3| = |z_2| |z_3| = 2|z_1| = 2|z_2| = 2\), suy ra \(|z_1 + z_2| = 2\).
Áp dụng công thức: \(|z_1| + |z_2|^2 + |z_1 – z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)\)
Ta có \(|z_1 – z_2| = \sqrt{3} \Leftrightarrow AB = \sqrt{3}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(AH = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{OA^2 – AH^2} = \frac{1}{2}\).
Mặt khác: \((z_1 + z_2)z_3 = 2z_1z_3 \Rightarrow 2|z_1| = |z_1 + z_2|\)
Suy ra \(OC = 2(OH + OB) = 4OH\) suy ra \(CH = OH – OC = -3OH\) suy ra \(CH = \frac{3}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\).
Chọn đáp án A.
Câu 43:
Đặt \(AB = AC = 2x,\, x > 0\). Gọi \(G\) là trung điểm cạnh \(BC\).
Ta có \(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = 2x\sqrt{2} \Rightarrow AG = \frac{BC}{2} = x\sqrt{2} \Rightarrow AG \perp BC\).
Do \(\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’\) là lăng trụ đứng nên \(AA’ \perp (ABC)\).
Suy ra \(AG\) là hình chiếu của \(A’G’\) lên mặt phẳng \((ABC)\).
Suy ra \(A’G’ \perp BC\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((A’BC)\) và \((ABC)\) bằng \(\angle(AG, A’G’) = \angle GA’A = 60^\circ\).
Xét \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(AG = A’.AC\cos 60^\circ = x\sqrt{2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là \(V = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot AA’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a\sqrt{6}}{3} \cdot 2a = \frac{8a^3\sqrt{6}}{3}\).
Câu 44
Gọi \(S\) là đỉnh hình nón, \(AB\) là đường kính của đường tròn đáy hình nón có tâm là \(I\).
\(O\) là tâm mặt cầu \(S\) qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón.
Đường kính \(SC\) của hình cầu \(S\).
Ta có: \(\angle ASB = 120^\circ \Rightarrow \angle ASI = 60^\circ \Rightarrow AS = \frac{SI}{\cos 60^\circ} = 4\)
Trong tam giác vuông \(SAC\): \(SA^2 = SI \cdot SC \Rightarrow SC = \frac{4^2}{2} = 8\)
Vậy \(S_c = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi\).
Câu 45
Chọn đáp án B
Câu 46
Chọn đáp án D
Câu 47
Ta có \(A'(0;1;0)\) là hình chiếu của \(A\) trên \(Oy\), khi đó \(d(A;(P)) \leq d(A,Oy) = AA’\)\\
Đẳng thức xảy ra khi \(AA’ \bot (P)\) hay \(\vec{n}_{(p)}=\overrightarrow{AA’}= (2;0;1)\) nên \((P)\) có phương trình \(2x + z = 0\).\\
Chọn đáp án C.
Câu 48
Chọn đáp án D
Câu 49
Chọn đáp án B
Câu 50
Chọn đáp án C.
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia !
