Dãy số – Lý thuyết cơ bản và bài tập cụ thể

Dãy số là một khái niệm toán học quan trọng, đóng vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực như giải tích, hình học, đại số, xác suất thống kê, … Dãy số được sử dụng để mô tả các chuỗi dữ liệu, giúp ta dự đoán xu hướng và đưa ra các quyết định trong thực tế.

Lớp 11, học sinh bắt đầu tiếp cận với dãy số một cách chuyên sâu hơn. Khóa học này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản về dãy số, rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về dãy số lớp 11, bao gồm định nghĩa, cách cho, tính chất và ứng dụng.

Định nghĩa dãy số 

Dãy số là một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N* (tập hợp các số tự nhiên dương).

Cách cho dãy số

  • Công thức số hạng tổng quát: Cho công thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số (u_n). Ví dụ: \(u_n = n^2 + 2n\)
  • Phương pháp mô tả: Dựa vào quy luật của dãy số để mô tả cách tính các số hạng. Ví dụ: Dãy số (1, 4, 9, 16, …) với \(u_n = n^2\).
  • Phương pháp truy hồi: Cho hai số hạng đầu tiên và quy tắc tính số hạng tiếp theo dựa vào các số hạng trước đó. Ví dụ: Dãy số (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) với \(u_1 = 1, u_2 = 1, u_n = u_(n-1) + u_(n-2)\) với n ≥ 3.

Dãy số tăng, giảm

  • Dãy số tăng: Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu \(u_(n+1) > u_n\) với mọi n ∈ N*.
  • Dãy số giảm: Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu \(u_(n+1) < u_n\) với mọi n ∈ N*.

Dãy số bị chặn

  • Bị chặn trên: Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho \(u_n ≤ M\) với mọi n ∈ N*.
  • Bị chặn dưới: Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho \(u_n ≥ m\) với mọi n ∈ N*.
  • Bị chặn: Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Biểu diễn hình học của dãy số

– Vì dãy số là một hàm số trên N* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị có tọa độ (n,un)

– Ví dụ: Dãy số (Un) VỚI \(Um n+1 /n\) có biểu diễn hình học như sau:

Cách cho một dãy số lớp 11

Dạng tổng quát

Cho công thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số \((u_n)\). Ví dụ:

  • Dãy số (1, 4, 9, 16, …) với \(u_n = n^2\).
  • Dãy số (1, 1/2, 1/3, 1/4, …) với \(u_n = 1/n\)

Phương pháp mô tả

Dựa vào quy luật của dãy số để mô tả cách tính các số hạng. Ví dụ:

  • Dãy số (1, 3, 5, 7, …) với \(u_n = 2n – 1\).
  • Dãy số (2, 4, 8, 16, …) với \(u_n = 2^n\).

Phương pháp truy hồi

Cho hai số hạng đầu tiên và quy tắc tính số hạng tiếp theo dựa vào các số hạng trước đó. Ví dụ:

  • Dãy số (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) với \(u_1 = 1, u_2 = 1\), \(u_n = u_(n-1) + u_(n-2)\) với n ≥ 3.
  • Dãy số (1, 4, 9, 16, …) với \(u_1 = 1, u_2 = 4\), \(u_n = u_(n-1) + (n-1)\) với n ≥ 3.

Dãy số tăng, giảm và bị chặn

– Dãy số un là dãy số giảm nếu \(Un+1 < Un\) Với mọi n∈ N*

– Dãy số un là dãy số tăng nếu \(Un+1 > Un\) với mọi n ∈ N*

Lưu ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Trường hợp đặc biệt dãy số không tăng cũng không giảm như dãy \((Un) = (-1)^n\) tức là dãy -1,1,-1,1,-1,1..

– Dãy số bị chặn bao gồm dãy số chặn trên, chặn dưới và chặn hai đầu.

+ Dãy số bị chặn trên: tồn tại một số M mà un < M, với mọi n N*

+ Dãy số bị chặn dưới:  tồn tại số m mà un ≥ m, với mọi n ∈ N

+ Dãy số bị chặn hai đầu: tồn tại số m, M mà m < Un < M, với mọi ∈ N*

Ví dụ có lời giải

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi \(u_1 = 1 và u_n = u_(n-1) + 2n\) với mọi n ≥ 2.

a) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Tìm số hạng thứ 10 của dãy số.

Lời giải:

a) Chứng minh:

  • Với n = 2, ta có u_2 = u_1 + 2.2 = 5 > 1 = u_1.
  • Giả sử \(u_(k-1) > u_k\) với một số nguyên dương k ≥ 2. Ta cần chứng minh \(u_k > u_(k+1)\).

Ta có:

\(u_(k+1) = u_k + 2(k + 1)\)

= \(u_(k-1) + 2k + 2(k + 1)\)

\(u_(k-1) + 2k + 2k\)

= \(u_k + 2k\)

\(u_k\)

Vậy, theo nguyên lý quy nạp toán học, dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Tìm số hạng thứ 10:

Ta có:

\(u_2 = u_1 + 2.2 = 5\)

\(u_3 = u_2 + 2.3 = 11\)

\(u_4 = u_3 + 2.4 = 19\)

\(u_(10) = u_9 + 2.10 = 169\)

Vậy, số hạng thứ 10 của dãy số là 169

Dãy số lớp 11 là một chủ đề quan trọng và thú vị. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dãy số và có thể áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế.