Tổng hợp kiến thức: Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 là một trong những kiến thức toán học cơ bản và quan trọng mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Bài tập này bao gồm 10 bài tập về dấu hiệu chia hết cho 3 và 9. Các bài tập được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế.

Dấu hiệu chia hết cho 3

Định nghĩa

Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Ví dụ:

123 chia hết cho 3 vì 1 + 2 + 3 = 6 chia hết cho 3.

514 không chia hết cho 3 vì 5 + 1 + 4 = 10 không chia hết cho 3.

Tính chất

Tổng hoặc hiệu của hai số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Tích của một số chia hết cho 3 và một số bất kỳ thì chia hết cho 3.

Dấu hiệu chia hết cho 9

Định nghĩa

Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Ví dụ:

189 chia hết cho 9 vì 1 + 8 + 9 = 18 chia hết cho 9.

252 không chia hết cho 9 vì 2 + 5 + 2 = 9 không chia hết cho 9.

Tính chất

Tính chất của dấu hiệu chia hết cho 3 cũng áp dụng cho dấu hiệu chia hết cho 9.

 Dấu hiệu chia hết cho cả 3 và 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho cả 3 và 9. Điều này có nghĩa số nào chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3.

Lưu ý:

Số 0 chia hết cho cả 3 và 9.

Số có tổng các chữ số bằng 0 không chia hết cho 3 và 9.

Bài tập Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Bài 1: Hãy tìm 10 số chia hết cho 3 và 5.

Lời giải:

Ta có:
Các số chia hết cho 3 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,…

Các số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50,…

Lấy giao của hai tập hợp trên, ta được 10 số chia hết cho cả 3 và 5 là: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150.

Bài 2: Hãy kiểm tra xem số 123456789 có chia hết cho 3 và 9 hay không.

Lời giải:

Ta có: Tổng các chữ số của số 123456789 là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

45 chia hết cho 3 và 9.

Vậy, số 123456789 chia hết cho cả 3 và 9.

Bài 3:

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 3.

Lời giải:

Ta có:

1 + 2 + 3 = 6 chia hết cho 3.

1 + 2 + 3 + 4 = 10 không chia hết cho 3.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 chia hết cho 3.

Vậy, n nhỏ nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 3 là n = 3.

Bài 4: Chứng minh rằng: 

Một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Lời giải:

Giả sử số a chia hết cho 3.

Ta có thể viết a dưới dạng: a = 3k (k là số tự nhiên).

Khi đó, tổng các chữ số của a là:

S = a1 + a2 + … + an = 3k1 + 3k2 + … + 3kn = 3(k1 + k2 + … + kn)

Vì k1, k2, …, kn là các số tự nhiên nên k1 + k2 + … + kn là số tự nhiên.

Vậy, S chia hết cho 3.

Chứng minh 2:

Giả sử số a có tổng các chữ số chia hết cho 3.

Khi đó, ta có:

S = a1 + a2 + … + an = 3m (m là số tự nhiên).

Ta có thể viết a dưới dạng:

\(a = 10^n \times a_1 + 10^(n-1) \times a_2 + … + 10 \times an + a_0\)

= \((10^{n – 1}) \times a_1 + (10^(n-1) – 1) \times a_2 + … + (10 – 1) \times an + (a_1 + a_2 + … + an)\)

= \(9 \times (10^{n – 1}) \times a_1 + 10^{n – 2} \times a_2 + … + a_0) + 3m\)

Vì \(10^{n – 1} \times a_1, 10^{n – 2} * a_2, …, a_0\) là các số tự nhiên nên \(9 \times (10^{n – 1} \times a1 + 10^{n – 2} \times a_2 + … + a_0)\) chia hết cho 3.

Vậy, a chia hết cho 3.

Luyện tập

Bài 1:

Tìm 10 số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Tìm 10 số chia hết cho 9.

Bài 2: Kiểm tra xem các số sau có chia hết cho 3 và 9 hay không:

12345

234567

3456789

Bài 3: Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n không chia hết cho 3.

Bài 4: Chứng minh rằng:

Một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Bài 5:Cho A = 123 + 456 + 789 + 101112.

Chứng minh rằng A chia hết cho 3.

Tìm số dư khi chia A cho 9.

Bài 6:

Tìm chữ số x để số 123×4 chia hết cho 3.

Tìm chữ số x để số 123×4 chia hết cho 9.

Bài 7: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

n + 3n chia hết cho 3.

n + 4n chia hết cho 3.

n + 6n chia hết cho 3.

n + 7n chia hết cho 3.

Bài 8: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + n. Chứng minh rằng:

Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 3.

Nếu A chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

Nếu A chia hết cho 9 thì n chia hết cho 9.

Bài 9:

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 9.

Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 9.

Bài 10: Chứng minh rằng:

Một số có tổng các chữ số chia hết cho 12 thì chia hết cho 3.

Một số có tổng các chữ số chia hết cho 12 thì chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 là một kiến thức toán học cơ bản và quan trọng, giúp ta kiểm tra nhanh chóng một số có chia hết cho 3, 9 hay không mà không cần thực hiện phép chia. Dấu hiệu này có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn