Đại lượng tỉ lệ nghịch là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, giúp học sinh hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng mà khi cùng tăng hoặc cùng giảm thì tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.
Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch
Hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau là hai đại lượng mà khi cùng tăng hoặc cùng giảm thì tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi.
Ví dụ
Giá tiền và số lượng hàng hóa là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau: mua càng nhiều hàng hóa cùng loại thì giá tiền càng cao và ngược lại.
Vận tốc và thời gian đi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau: đi cùng một quãng đường, vận tốc càng lớn thì thời gian đi càng ngắn và ngược lại.
Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch
Tích hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch luôn luôn không đổi.
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau thì:
\(x = \frac{k}{y}\) với k là hằng số khác 0.
\(y = \frac{k}{x}\) với k là hằng số khác 0.
Ta có thể viết: \(x.y = k\) hoặc \(\frac{y}{x} = \frac{k}{1}\)
Các dạng toán thường gặp bài đại lượng tỉ lệ nghịch
Dạng 1: Cho trước tỉ lệ nghịch của 2 đại lượng yêu cầu tìm 2 đại lượng đó
Ví dụ:
Một ô tô chạy từ điểm A đến điểm B hết 3 giờ. Một ô tô khác cũng chạy từ điểm A đến điểm B với vận tốc bằng 1,2 lần so với ô tô trước. Hỏi xe ô tô sau đi hết bao nhiêu giờ?
Lời giải:
Gọi thời gian xe ô tô sau đi hết quãng đường AB là x (giờ)
Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: Vận tốc xe 1 / Vận tốc xe 2 = Thời gian xe 2 / Thời gian xe 1
Thay số: \(\frac{1}{1,2} = \frac{x}{3}\)
Giải pt: \(x = \frac{3.1}{1,2} = 2,5\) giờ
Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn đại lượng x theo y, tìm x khi biết y hoặc tìm y khi biết x.
Ví dụ:
Biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 3 thì y = 5.
a) Tìm hệ số tỉ lệ của hai đại lượng x và y.
b) Biểu diễn đại lượng x theo y.
c) Tính giá trị của x khi y = 7.
Lời giải:
a) Hệ số tỉ lệ của hai đại lượng x và y là: xy = 3.5 = 15
b) Biểu diễn đại lượng x theo y: \(x = \frac{15}{y}\)
c) Tính giá trị của x khi y = 7: \(x = \frac{15}{7}\)
Dạng 3: Cho x và y là hai đại lượng là tỉ lệ nghịch với nhau. Hoàn thành bảng số liệu.
Ví dụ:
Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và \(x1.y1 = 30\). Hãy hoàn thành bảng sau:
| x | 2 | 3 | 6 | ? |
| y | ? | ? | ? | 15 |
Lời giải:
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(x1.y1 = x2.y2\)
Thay số: \(2.y1 = 3.y2 = 6.y3 = x4.15\)
Ta có: \(y1 = \frac{30}{2} = 15 y2 = \frac{30}{3} = 10 y3 = \frac{30}{6} = 5 x4 = \frac{30}{15} = 2\)
Bảng hoàn chỉnh:
| x | 2 | 3 | 6 | ? |
| y | 15 | 10 | 5 | 15 |
Bài tập đại lượng tỉ lệ nghịch có lời giải chi tiết
Bài 1: Hai công nhân cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc trong 8 giờ, người thứ hai hoàn thành công việc trong 12 giờ. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì họ sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Lời giải:
Gọi thời gian cả hai người cùng làm để hoàn thành công việc là x (giờ).
Vì cùng làm một công việc, thời gian và năng suất là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 8.1 + 12.1 = x.2
Giải pt: \(x = \frac{8.1 + 12.1}{2} = 6\)
Vậy, nếu cả hai người cùng làm thì họ sẽ hoàn thành công việc đó trong 6 giờ.
Bài 2: Một ô tô đi quãng đường 120 km trong 2 giờ. Hỏi nếu đi với vận tốc gấp 3 lần vận tốc ban đầu thì ô tô đi quãng đường 180 km trong bao lâu?
Lời giải:
Gọi thời gian ô tô đi quãng đường 180 km với vận tốc gấp 3 lần vận tốc ban đầu là x (giờ).
Vì quãng đường đi và thời gian đi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, vận tốc và thời gian đi cũng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: \(\frac{120}{2} = \frac{180}{x} = \frac{3}{x}\)
Giải pt: \(x = \frac{180.2}{3} = 120\).
Vậy, nếu đi với vận tốc gấp 3 lần vận tốc ban đầu thì ô tô đi quãng đường 180 km trong 120 giờ.
Bài 3: Một công ty may cần 20 công nhân may trong 8 ngày để hoàn thành một lô hàng. Hỏi nếu công ty muốn hoàn thành lô hàng đó trong 6 ngày thì cần bao nhiêu công nhân may?
Lời giải:
Gọi số công nhân may cần để hoàn thành lô hàng trong 6 ngày là x (công nhân).
Vì cùng làm một công việc, số công nhân và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 20.8 = 6.x
Giải pt: \(x = \frac{20.8}{6} = 26.67\) (người)
Vì không thể có 0.67 người nên công ty cần ít nhất 27 người để hoàn thành lô hàng trong 6 ngày.
Hy vọng các bạn đã nắm vững các khái niệm, tính chất và cách thức giải bài tập liên quan đến đại lượng tỉ lệ nghịch.
