Lý thuyết về đa thức chi tiết nhất: Bài tập về đa thức có lời giải chi tiết

Đa thức là một trong những nội dung quan trọng của môn Toán lớp 7. Việc học tập và nắm vững kiến thức về đa thức giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Lý thuyết đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ:

  • \(3x^2 y + 5x^2 y – 2x^3 y^2\) là một đa thức.
  • \(2x^2 y^3 + 4x^2 y^3\) là một đa thức.

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Ví dụ:

  • Bậc của đa thức \(3x^2 y + 5x^2 y – 2x^3 y^2\) là 3.
  • Bậc của đa thức \(2x^2y^3 + 4x^2y^3\) là 3.

Đa thức 0 là đa thức không có hạng tử nào. Bậc của đa thức 0 là -∞.

Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Ví dụ:

  • Hệ số cao nhất của đa thức \(3x^2y + 5x^2y – 2x^3y^2\) là -2.
  • Hệ số cao nhất của đa thức \(2x^2y^3 + 4x^2y^3\) là 4.

Đa thức một biến là đa thức chỉ có một biến.

Ví dụ:

  • \(3x^2 + 5x – 2\) là một đa thức một biến.
  • \(x^3 + 2x^2 – x + 1\) là một đa thức một biến.

Đa thức nhiều biến là đa thức có hai hoặc nhiều biến.

Ví dụ:

  • \(2xy^2 + 3x^2y – 4x^3y^2\) là một đa thức hai biến.
  • \(x^2y^3 + 2x^2y^2z + 3xyz^2\) là một đa thức ba biến.

Giá trị của đa thức tại một giá trị của biến là giá trị của tổng các giá trị của các hạng tử tại giá trị đó của biến.

Ví dụ:

  • Giá trị của đa thức \(3x^2 + 5x – 2\) tại x = 1 là 3 + 5 – 2 = 6.
  • Giá trị của đa thức \(x^3 + 2x^2 – x + 1\) tại x = 2 là 8 + 8 – 2 + 1 = 15.

Các dạng toán thường gặp bài đa thức

Dạng 1: Cộng, trừ đa thức

Cộng, trừ các đơn thức tương ứng của hai đa thức.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ:

  • \((3x^2 + 2xy – 5x) + (2x^2 – xy + 3x)\) = ?
  • \((5x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1) – (2x^3 – xy^2 + 2x)\) = ?

Dạng 2: Nhân đa thức với đơn thức

Nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ:

  • \((3x^2 + 2xy – 5x) * 2x\) = ?
  • \((x^2 – xy + 2x) * (3x^2 + 2xy – 1)\) = ?

Dạng 3: Nhân đa thức với đa thức

Nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia.

Cộng các tích thu được.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ:

  • \((3x^2 + 2xy – 5x) * (x^2 – xy + 2x)\) = ?
  • \((x^2 – xy + 2x) * (x^2 + xy + 2x)\) = ?

Dạng 4: Tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của biến

Thay giá trị của biến vào đa thức.

Tính toán giá trị của biểu thức thu được.

Ví dụ:

  • Tìm giá trị của đa thức \(3x^2 + 2xy – 5x\) tại x = 2.
  • Tìm giá trị của đa thức \(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\) tại x = 1 và y = 2.

Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học.

Ví dụ:

  • Phân tích đa thức \(x^2 + 2xy + y^2\) thành nhân tử.
  • Phân tích đa thức \(x^3 – 3x^2 + 2x – 6\) thành nhân tử.

Dạng 6: Giải bài toán bằng cách sử dụng đa thức

Lập biểu thức đại số biểu thị cho các đại lượng trong bài toán.

Giải bài toán bằng cách sử dụng các phép toán trên đa thức.

Ví dụ:

  • Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m) và chiều rộng y (m). Diện tích của mảnh vườn được biểu thị bởi đơn thức nào?
  • Một cửa hàng bán hoa quả có a kg cam và b kg táo. Tổng số kg hoa quả của cửa hàng được biểu thị bởi đơn thức nào?

Bài tập bài đa thức có lời giải chi tiết

Bài 1: Cộng các đơn thức sau:

a) \(3x^2y^2 + 2x^2y^2 – x^2y^2\)

b) \(5x^3y^2 – 3x^3y^2 + 2x^3y^2\)

Lời giải:

a) \(3x^2y^2 + 2x^2y^2 – x^2y^2 = (3 + 2 – 1)x^2y^2 = 4x^2y^2\)

b) \(5x^3y^2 – 3x^3y^2 + 2x^3y^2 = (5 – 3 + 2)x^3y^2 = 4x^3y^2\)

Bài 2: Trừ các đơn thức sau:

a) \(5x^2y – 2x^2y\)

b)\( -3x^3y^2 + 4x^3y^2\)

Lời giải:

a) \(5x^2y – 2x^2y = (5 – 2)x^2y = 3x^2y\)

b) \(-3x^3y^2 + 4x^3y^2 = (-3 + 4)x^3y^2 = x^3y^2\)

Bài 3: Tìm đơn thức thích hợp để điền vào chỗ trống:

a)\( … + 7x^2y = 10x^2y\)

b) \(5x^3y^2 – … = 2x^3y^2\)

Lời giải:

a)\( … + 7x^2y = 10x^2y => … = 10x^2y – 7x^2y = 3x^2y\)

b)\( 5x^3y^2 – … = 2x^3y^2 => … = 5x^3y^2 – 2x^3y^2 = 3x^3y^2\)

Bài 4: Cho hai đơn thức \(A = 3x^2y^2 và B = -2x^3y^2\). Tìm đơn thức C sao cho A + C = B.

Lời giải:

Ta có: A + C = B => C = B – A = \(-2x^3y^2 – 3x^2y^2 = -2x^3y^2 – 3x^2y^2\)

Bài 5: Cho ba đơn thức \(M = 5x^2y^3\), \(N = -3x^2y^3\) và \(P = 2x^2y^3\). Tìm đơn thức Q sao cho M + N + Q = 0.

Lời giải:

Ta có: M + N + Q = 0 => Q = -M – N = \(-(5x^2y^3 + 3x^2y^3) = -8x^2y^3\)

Bài 6: Tìm giá trị của đa thức \(3x^2 + 2xy – 5x\) tại x = 2.

Lời giải:

Thay x = 2 vào đa thức \(3x^2 + 2xy – 5x\), ta được:

3 * 2^2 + 2 * 2 * y – 5 * 2 = 12 + 4y – 10 = 2 + 4y

Bài 7: Tìm giá trị của đa thức \(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\) tại x = 1 và y = 2.

Lời giải:

Thay x = 1 và y = 2 vào đa thức \(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\), ta được:

\(1^3 + 2 * 1^2 * 2 – 3 * 1 * 2^2 + 1 = 1 + 4 – 12 + 1 = -6\)

Tóm lại, bài học đã trình bày khái niệm đa thức, cách tính giá trị, cộng, trừ, nhân đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng đa thức vào giải bài toán.