Đa thức một biến: Các khái niệm cơ bản và bài tập vận dụng

Đa thức một biến là một trong những nội dung quan trọng của môn Toán lớp 7. Việc học tập và nắm vững kiến thức về đa thức một biến giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Khái niệm đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức một biến.

Đơn thức một biến là biểu thức có dạng:

\(a x^n\)

Trong đó:

a là số thực, gọi là hệ số của đơn thức.

x là biến.

n là số nguyên dương, gọi là bậc của đơn thức.

Ví dụ:

\(3x^2 + 2x – 1\) là đa thức một biến.

\(5x^3\) là đơn thức một biến.

Bậc của đa thức

Bậc của đa thức (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ:

Bậc của đa thức \(3x^2 + 2x – 1\) là 2.

Bậc của đơn thức \(5x^3\) là 3.

Hệ số của đa thức

Hệ số của đa thức là hệ số của các đơn thức trong đa thức đó.

Ví dụ:

Hệ số của đa thức \(3x^2 + 2x – 1\) là 3, 2 và -1.

Các phép toán với đa thức

Cộng trừ đa thức

Cộng hai đa thức:

Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

Nhóm các hạng tử đồng dạng.

Cộng các đơn thức đồng dạng.

Trừ hai đa thức:

Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

Nhóm các hạng tử đồng dạng.

Trừ các đơn thức đồng dạng.

Ví dụ

Cộng hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \( Q(x) = x^2 – 2x + 5\) :
\(P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) + (x^2 – 2x + 5)\)
= \(2x^2 + 3x – 1 + x^2 – 2x + 5\)
= \( 3x^2 + x + 4\)

Trừ hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \( Q(x) = x^2 – 2x + 5\) :
\(P(x) – Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) – (x^2 – 2x + 5)\)
= \(2x^2 + 3x – 1 – x^2 + 2x – 5\)
= \(x^2 + 5x – 6\)

Nhân đa thức

Nhân đa thức với đa thức:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ:

Nhân hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \( Q(x) = x^2 – 2x + 5\) :
\(P(x) . Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) . (x^2 – 2x + 5)\)
= \(2x^2 . x^2 + 2x^2 . (-2x) + 2x^2 . 5 + 3x . x^2 + 3x . (-2x) + 3x . 5 – 1 . x^2 – 1 . (-2x) – 1 . 5\)
= \(2x^4 – 4x^3 + 10x^2 + 3x^3 – 6x^2 + 15x – x^2 + 2x – 5\)
= \(2x^4 – x^3 + 3x^2 + 17x – 5\)

Nhân đa thức với đơn thức:

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ: Nhân đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) với đơn thức M = 5x:
\(P(x) . M = (2x^2 + 3x – 1) . 5x\)
= \(2x^2 . 5x + 3x . 5x – 1 . 5x\)
= \(10x^3 + 15x^2 – 5x\)

Chia đa thức

Chia đa thức cho đơn thức:

Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ: Chia đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) cho đơn thức M = x:
\(\frac{P(x)}{M} = \frac{2x^2 + 3x – 1}{x}\)
= \(\frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} – \frac{1}{x}\)
= \(\frac{2x + 3 – 1}{x}\)

Chia đa thức cho đa thức:

Sử dụng phép chia đa thức cho đa thức.

Thu gọn đa thức.

Ví dụ: Chia đa thức \(P(x) = x^2 – 2x + 5\) cho đa thức Q(x) = x – 1:
\(\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{x^2 – 2x + 5}{x – 1}\)
=\(\frac{ x^2} {x – 1} – \frac{2x }{x – 1} + \frac{5}{x – 1}\)
= \(x + 1 – \frac{5}{x – 1}\)

Bài tập có lời giải chi tiết bài đa thức một biến

Bài 1: Cho hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\) .

Tính P(x) + Q(x).

Tính P(x) – Q(x).

Lời giải:

\(P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) + (x^2 – 2x + 5)\)

= \(2x^2 + 3x – 1 + x^2 – 2x + 5\)

= \((2x^2 + x^2) + (3x – 2x) + (-1 + 5)\)

= \(3x^2 + x + 4\)

\(P(x) – Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) – (x^2 – 2x + 5)\)

= \(2x^2 + 3x – 1 – x^2 + 2x – 5\)

= \((2x^2 – x^2) + (3x + 2x) + (-1 – 5)\)

= \(x^2 + 5x – 6\)

Bài 2: Cho hai đa thức \(A(x) = 3x^2 + 2xy – 5x\) và \(B(x) = -2x^2 + xy + 3x\) .

Tìm đa thức C(x) sao cho A(x) + C(x) = B(x).

Tìm đa thức D(x) sao cho A(x) – D(x) = B(x).

Lời giải:

A(x) + C(x) = B(x) => C(x) = B(x) – A(x)

= \((-2x^2 + xy + 3x) – (3x^2 + 2xy – 5x)\)

= \(-2x^2 + xy + 3x – 3x^2 – 2xy + 5x\)

= \((-2x^2 – 3x^2) + (xy – 2xy) + (3x + 5x)\)

= \(-5x^2 – xy + 8x\)

A(x) – D(x) = B(x) => D(x) = A(x) – B(x)

= \((3x^2 + 2xy – 5x) – (-2x^2 + xy + 3x)\)

= \(3x^2 + 2xy – 5x + 2x^2 – xy – 3x\)

= \((3x^2 + 2x^2) + (2xy – xy) + (-5x – 3x)\)

= \(5x^2 + xy – 8x\)

Bài 3: Cho đa thức \(M(x) = x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\) . Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 0.

Lời giải:

M(x) + N(x) = 0 => N(x) = -M(x)

= \(-(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1)\)

= \(-x^3 – 2x^2y + 3xy^2 – 1\)

Bài 4: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m) và chiều rộng y (m). Diện tích của mảnh vườn được biểu thị bởi biểu thức \(A = x^2 + 2xy + y^2\) . Tìm biểu thức biểu thị chu vi của mảnh vườn.

Lời giải:

Chu vi của mảnh vườn được tính bằng công thức:

C = 2(chiều dài + chiều rộng)

= 2(x + y)

= 2x + 2y

Luyện tập

Bài 1: Cho hai đơn thức  \(A = 3x^2y^2\) và \(B = -2x^3y^2\). Tìm đơn thức C sao cho A + C = B.

Bài 2: Cho ba đơn thức \(M = 5x^2y^3\) , \(N = -3x^2y^3\) và P = 2x^2y^3[/latex]. Tìm đơn thức Q sao cho M + N + Q = 0.

Bài 3: Cho đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 5\) . Tìm giá trị của P(x) tại x = 2.

Bài 4: Cho đa thức \(Q(x) = x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\) . Tìm giá trị của Q(x) tại x = 1 và y = 2.

Bài 5: Phân tích đa thức \(P(x) = x^2 + 2xy + y^2\) thành nhân tử.

Tóm lại, bài học đã trình bày khái niệm đa thức một biến, cách thực hiện cộng trừ, nhân chia đa thức một biến, vận dụng cộng trừ, nhân chia đa thức một biến vào giải bài toán, khái niệm bậc của đa thức, hệ số của đa thức, cách phân tích đa thức một biến thành nhân tử, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị cho trước của biến và cách giải phương trình đa thức một biến.