Lý thuyết cộng trừ đa thức và bài tập có lời giải chi tiết

Cộng trừ đa thức là một trong những nội dung quan trọng của môn Toán lớp 7. Việc học tập và nắm vững kiến thức về cộng trừ đa thức giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Đa thức

Đa thức là một biểu thức toán học bao gồm tổng của một hoặc nhiều hạng tử, trong đó mỗi hạng tử có thể là một hằng số, một biến số hoặc tích của cả hai, ví dụ: \(3x^2 + 4x – 5\).

– Mỗi hạng tử của đa thức gồm hai phần hệ số(số đứng trước biến số) và phần biến (biến số và số mũ của nó).

Cộng đa thức

– Khi cộng hai đa thức, bạn chỉ cần cộng các hạng tử tương ứng có cùng phần biến với nhau.

– Ví dụ, cộng đa thức \(3x^2 + 4x – 5\) và \(2x^2 – x + 3\) sẽ được \(3x^2 + 2x^2 + 4x – x – 5 + 3 = 5x^2 + 3x – 2\)

Trừ đa thức

– Khi trừ hai đa thức, bạn cũng làm tương tự như khi cộng, nhưng thay vì cộng các hạng tử tương ứng, bạn sẽ trừ chúng.

– Ví dụ, trừ đa thức \(2x^2 – x + 3\) khỏi \(3x^2 + 4x – 5\) sẽ được \(3x^2 – 2x^2 + 4x – (-x) – 5 – 3 = x^2 + 5x – 8\)

Lưu ý khi cộng trừ đa thức

– Chỉ cộng hoặc trừ các hạng tử có cùng phần biến. Nếu không có hạng tử nào tương ứng với phần biến trong đa thức kia, bạn chỉ cần giữ nguyên hạng tử đó.

– Hãy chú ý đến dấu của mỗi hạng tử khi thực hiện phép trừ.

Ví dụ

Cộng hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\):

\(P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) + (x^2 – 2x + 5)\)

= \(2x^2 + 3x – 1 + x^2 – 2x + 5\)

= \((2x^2 + x^2) + (3x – 2x) + (-1 + 5)\)

= \(3x^2 + x + 4\)

Trừ hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\):

\(P(x) – Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) – (x^2 – 2x + 5)\)

= \(2x^2 + 3x – 1 – x^2 + 2x – 5\)

= \((2x^2 – x^2) + (3x + 2x) + (-1 – 5)\)

= \(x^2 + 5x – 6\)

Cách rút gọn đa thức

– Sau khi cộng hoặc trừ, bạn có thể cần làm gọn đa thức bằng cách kết hợp các hạng tử có cùng phần biến.

– Ví dụ, đa thức \(5x^2 + 3x – 2 + 2x^2 – x\) có thể được làm gọn thành \(7x^2 + 2x – 2\)

Việc nắm vững lý thuyết và thực hành với nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp bạn cải thiện kỹ năng cộng và trừ đa thức.

Phép cộng, phép trừ đa thức có tính chất

Giao hoán:

  • \(A + B = B + A\)
  • \(A – B = B – A\)

Kết hợp:

  • \((A + B) + C = A + (B + C)\)
  • \((A – B) – C = A – (B + C)\)

Tính chất phân phối:

  • \(A(B + C) = AB + AC\)
  • \(A(B – C) = AB – AC\)

Bài tập vận dụng cộng trừ đa thức có lời giải chi tiết:

Bài 1: Cho hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\).

Tính P(x) + Q(x).

Tính P(x) – Q(x).

Lời giải:

P(x) + Q(x) = \((2x^2 + 3x – 1) + (x^2 – 2x + 5)\)

= \(2x^2 + 3x – 1 + x^2 – 2x + 5\)

=\( (2x^2 + x^2) + (3x – 2x) + (-1 + 5)\)

= \(3x^2 + x + 4\)

\(P(x) – Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) – (x^2 – 2x + 5)\)

= \(2x^2 + 3x – 1 – x^2 + 2x – 5\)

= \((2x^2 – x^2) + (3x + 2x) + (-1 – 5)\)

= \(x^2 + 5x – 6\)

Bài 2: Cho hai đa thức \(A(x) = 3x^2 + 2xy – 5x\) và \(B(x) = -2x^2 + xy + 3x\).

Tìm đa thức C(x) sao cho A(x) + C(x) = B(x).

Tìm đa thức D(x) sao cho A(x) – D(x) = B(x).

Lời giải:

A(x) + C(x) = B(x) => C(x) = B(x) – A(x)

= \((-2x^2 + xy + 3x) – (3x^2 + 2xy – 5x)\)

= \(-2x^2 + xy + 3x – 3x^2 – 2xy + 5x\)

= \((-2x^2 – 3x^2) + (xy – 2xy) + (3x + 5x)\)

= \(-5x^2 – xy + 8x\)

A(x) – D(x) = B(x) => D(x) = A(x) – B(x)

= \((3x^2 + 2xy – 5x) – (-2x^2 + xy + 3x)\)

= \(3x^2 + 2xy – 5x + 2x^2 – xy – 3x\)

= \((3x^2 + 2x^2) + (2xy – xy) + (-5x – 3x)\)

=\(5x^2 + xy – 8x\)

Bài 3: Cho đa thức \(M(x) = x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\). Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 0.

Lời giải:

M(x) + N(x) = 0 => N(x) = -M(x)

= \(-(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1)\)

=\( -x^3 – 2x^2y + 3xy^2 – 1\)

Bài 4: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m) và chiều rộng y (m). Diện tích của mảnh vườn được biểu thị bởi biểu thức \(A = x^2 + 2xy + y^2\). Tìm biểu thức biểu thị chu vi của mảnh vườn.

Lời giải:

Chu vi của mảnh vườn được tính bằng công thức:

C = 2(chiều dài + chiều rộng)

= 2(x + y)

= 2x + 2y

Tóm lại, bài học đã trình bày khái niệm cộng trừ đa thức, cách thực hiện cộng trừ đa thức và vận dụng cộng trừ đa thức vào giải bài toán.