Cộng trừ đa thức một biến là gì? Định nghĩa và khái niệm cơ bản

Đa thức một biến là một trong những nội dung quan trọng của môn Toán lớp 7. Việc học tập và nắm vững kiến thức về cộng trừ đa thức một biến giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Khái niệm cộng trừ đa thức một biến

Đa thức một biến: là biểu thức đại số chỉ bao gồm các đơn thức có cùng một biến.

Cộng trừ đa thức một biến: là thực hiện phép cộng trừ các đơn thức có cùng một biến trong hai hoặc nhiều đa thức.

Cộng hai đa thức

Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

Nhóm các hạng tử đồng dạng.

Cộng các đơn thức đồng dạng.

Ví dụ Cộng hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\):
\(P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) + (x^2 – 2x + 5)\)
= \(2x^2 + 3x – 1 + x^2 – 2x + 5\)
= \(3x^2 + x + 4\)

Trừ hai đa thức

Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

Nhóm các hạng tử đồng dạng.

Trừ các đơn thức đồng dạng.

Ví dụ: Trừ hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1 và Q(x) = x^2 – 2x + 5\):
\(P(x) – Q(x) = (2x^2 + 3x – 1) – (x^2 – 2x + 5)\)
= \(2x^2 + 3x – 1 – x^2 + 2x – 5\)
= \(x^2 + 5x – 6\)

Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải bài cộng trừ đa thức một biến

Dạng 1: Cộng trừ hai đa thức một biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Bỏ ngoặc (nếu có).

Bước 2: Nhóm các đơn thức có cùng một biến.

Bước 3: Cộng hoặc trừ các đơn thức cùng biến.

Ví dụ:

Bài 1: Cho hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\). Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).

Lời giải:

\(P(x) + Q(x) = (2x^2 + x^2) + (3x – 2x) + (-1 + 5)\)

= \(3x^2 + x + 4\)

\(P(x) – Q(x) = (2x^2 – x^2) + (3x + 2x) + (-1 – 5)\)

= \(x^2 + 5x – 6\)

Dạng 2: Tìm đa thức P(x) sao cho P(x) + Q(x) = R(x) hoặc P(x) – Q(x) = R(x)

Phương pháp giải:

Bước 1: Bỏ ngoặc (nếu có) ở cả hai vế.

Bước 2: Chuyển các đơn thức có cùng một biến về cùng một vế.

Bước 3: Tìm các đơn thức thích hợp để cộng hoặc trừ hai vế sao cho vế trái bằng vế phải.

Ví dụ:

Bài 2: Cho đa thức \(M(x) = x^3 + 2x^2 – 3x + 1\). Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 0.

Lời giải:

M(x) + N(x) = 0

=> N(x) = -M(x)

= \(-x^3 – 2x^2 + 3x – 1\)

Dạng 3: Tính giá trị của đa thức tại một giá trị cho trước của biến

Phương pháp giải:

Thay giá trị cho trước của biến vào các đơn thức của đa thức.

Tính giá trị của mỗi đơn thức.

Cộng các giá trị của các đơn thức để tìm giá trị của đa thức.

Ví dụ:

Bài 3: Cho đa thức \(P(x) = x^2 – 4x + 3\). Tìm giá trị của P(x) tại x = 2.

Lời giải:

\(P(2) = 2^2 – 4 * 2 + 3\)

= 4 – 8 + 3

= -1

Dạng 4: Vận dụng cộng/trừ đa thức để giải bài toán.

Phương pháp giải:

Biểu diễn các đại lượng trong bài toán bằng các đa thức.

Lập biểu thức biểu thị yêu cầu của bài toán.

Cộng/trừ các đa thức để tìm giá trị của biểu thức.

Ví dụ:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m) và chiều rộng y (m). Diện tích của mảnh vườn được biểu thị bởi biểu thức \(A = x^2 + 2xy + y^2\). Tìm biểu thức biểu thị chu vi của mảnh vườn.

Giải:

Chu vi của mảnh vườn được tính bằng công thức:

C = 2(chiều dài + chiều rộng)

= 2(x + y)

= 2x + 2y

Bài tập vận dụng cộng trừ đa thức một biến có lời giải chi tiết

Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m) và chiều rộng y (m). Diện tích của mảnh vườn được biểu thị bởi biểu thức \(A = x^2 + 2xy + y^2\). Tìm biểu thức biểu thị chu vi của mảnh vườn.

Giải:

Chu vi của mảnh vườn được tính bằng công thức:

C = 2(chiều dài + chiều rộng)

= 2(x + y)

= 2x + 2y

Bài 2: Cho hai đa thức \(P(x) = 2x^2 + 3x – 1\) và \(Q(x) = x^2 – 2x + 5\). Tìm đa thức R(x) sao cho P(x) + R(x) = Q(x).

Giải:

P(x) + R(x) = Q(x) => R(x) = Q(x) – P(x)

= \((x^2 – 2x + 5) – (2x^2 + 3x – 1)\)

= \(x^2 – 2x + 5 – 2x^2 – 3x + 1\)

= \((-2x^2 + x^2) + (-2x – 3x) + (5 + 1)\)

= \(-x^2 – 5x + 6\)

Bài 3: Cho đa thức \(M(x) = x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1\). Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) – N(x) = 0.

Giải:

M(x) – N(x) = 0 => N(x) = M(x) – M(x)

= \((x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1) – (x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1)\)

= \(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 1 – x^3 – 2x^2y + 3xy^2 – 1\)

= \((x^3 – x^3) + (2x^2y – 2x^2y) + (-3xy^2 + 3xy^2) + (1 – 1)\)

= 0

Bài 4: Cho đa thức \(P(x) = x^2 – 4x + 3\). Tìm giá trị của P(x) tại x = 2.

Giải:

\(P(2) = 2^2 – 4.2 + 3\)

= 4 – 8 + 3

= -1

Bài 5: Giải phương trình \(x^2 – 4x + 3 = 0\)

Giải:

Ta có:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

(x – 1)(x – 3) = 0

=> x – 1 = 0 hoặc x – 3 = 0

=> x = 1 hoặc x = 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3.

Luyện tập

Bài 1: Cho hai đa thức \(P(x) = x^3 + 2x^2 – 3x + 1\) và \(Q(x) = -x^3 + 4x^2 – 2x – 5\).

Tính P(x) + Q(x).

Tính P(x) – Q(x).

Bài 2: Cho đa thức \(M(x) = x^4 + 2x^3 – 3x^2 + 4x – 5\). Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 0.

Bài 3: Cho đa thức \(P(x) = x^3 – 2x^2 + x – 1\). Tìm giá trị của P(x) tại x = 1.

Bài 4: Giải phương trình \(x^2 + 5x – 6 = 0\).

Bài 5: Một mảnh vườn hình vuông có cạnh a (m). Diện tích của mảnh vườn được biểu thị bởi biểu thức \(A = a^2\). Tìm biểu thức biểu thị chu vi của mảnh vườn.

Bài 6: Cho hai biểu thức \(A = 2x^2 + 3xy – 4x\) và \(B = 5x^2 – 2xy + 3x\).

Tính A + B.

Tính A – B.

Bài 7: Cho đa thức \( P(x) = x^3 + 2x^2 – 3x + 1\). Tìm đa thức Q(x) sao cho \(P(x) – Q(x) = x^2 + x – 1\).

Bài 8: Giải phương trình \(x^2 – 4x + 4 = 0\).

Bài 9: Một hình chữ nhật có chiều dài x (m) và chiều rộng y (m). Diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi biểu thức A = xy. Tìm biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật.

Bài 10: Cho hai biểu thức \(A = 3x^2 + 2xy – 5x\) và B = 2x^2 – xy + 2x[/latex].

Tính A + B.

Tính A – B.

Cộng trừ đa thức là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Nắm vững kiến thức về cộng trừ đa thức giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.